Задача 6

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью Ох.

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой.

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной двухлепестковой розой .

5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами и .

6. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной полуэллипсом , параболой и осью Оу.

7. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми и.

8. Вычислить длину дуги полукубической параболы от точки A(2;0) до точки B (6;8)

9. Вычислить длину кардиоиды .

10. Вычислить длину одной арки циклоиды .

11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами и .

12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и локоном Аньези.

13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой.

14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой .

15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом.

16. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной эллипсом .

17. Вычислить длину кривой между точками пересечения с осями координат.

18. Вычислить длину полукубической параболы от точки O(0; 0) до точки M.

19. Найти длину дуги полукубической параболы , заключенной внутри окружности .

20. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболой и осью Ох.

21. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболами и .

22. Найти координаты центра тяжести однородной дуги астроиды , расположенной над осью Оx.

23. Найти координаты центра тяжести однородной дуги одной арки циклоиды .

24. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной эллипсом и осями координат Ох и Оу .

25. Найти работу, совершаемую при выкачивании воды из корыта, имеющего форму полуцилиндра, длина которого а = 2м, радиус r = 0.3м.

26. Найти силу давления бензина, находящегося в цилиндрическом баке высотой h = 3м и радиусом основания r = 1 м, на его стенки. Плотность бензина р.

27. В жидкость с плотностью р погружена круглая пластинка диаметром d = 1.5м, касающаяся поверхности жидкости. Найти силу давления жидкости на пластинку.

28. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой от до .

29. Найти длину дуги кривой .

30. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

31. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

32. Вычислить площадь фигуры, ограниченной гиперболой и прямой .

33. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой и окружностью r = 4.

34. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью Ох.

35. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной цепной линией , осью Ох и прямыми х = ±1.

36. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболами у = х² .

37. Вычислить объем тела, образованного вращени­ем вокруг оси Оу фигуры, ограниченной локоном Аньези , прямой и осью Оу.

38. Вычислить длину дуги полукубической параболы от x = 0 до x = 3.

39. Вычислить длину астроиды .

40. Вычислить длину кардиоиды .

41. Найти координаты центра тяжести однородной дуги цепной линии от точки (0, 1) до точки .

42. Найти координаты центра тяжести дуги астроиды , расположенной в первом квадранте, если линейная плотность в каждой ее точке равна абсциссе точки.

43. Деревянная прямоугольная балка, размеры поперечного сечения которой а = 0,4 м, b = 0,2 м, длина l = 4,5 м, плавает на поверхности воды. Удельный вес дерева у = 0,8 Г/см³. Вычислить работу, необходимую для извлечения балки из воды.

44. Растяжение (удлинение) пружины пропорционально приложенной силе. Вычислить работу, затрачиваемую при растяжении пружины на 6 см, если сила, равная 2 кГ, удлиняет ее на 1 см.

45. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из сосуда, имеющего форму прямого круглого конуса с вертикальной осью, обращенного вершиной вниз, если радиус основания конуса r = 2 м и высота h = 5 м.

46. Вертикальная плотина имеет форму параболического сегмента, высота которого h—12 м, а верхнее осно­вание совпадает с уровнем воды и имеет длину а = 30 м. Вычислить силу давления воды на плотину.

47. Вертикальная плотина имеет форму равнобочной трапеции, верхнее основание которой совпадает с уровнем воды и имеет длину а = 50 м, нижнее основание b = 20 м, а высота h = 15 м. Вычислить силу давления воды на плотину.

48. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной дугой косинусоиды и отрезком оси Ох от х = 0 до .

49. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной дугой синусоиды и отрезком оси Ох от х = 0 до .

50. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболами .

Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из резервуара Р. Удельный вес воды при­нять равным 9,81кН/м , = 3,14. (Результат округлить до целого числа.)

51. Р: правильная четырехугольная пирамида со сторо­ной основания 2м и высотой 5м.

52. Р: правильная четырехугольная пирамида, обращенная вершиной вниз. Сторона основания пирамиды равна 2 м, высота — 6м.

53. Р: котел, имеющий форму сферического сегмента, высота которого 1,5м и радиус 1м.

54. Р: полуцилиндр, радиус основания которого 1 м, дли­ на 5м.

55. Р: усеченный конус, у которого радиус верхнего основания равен 1м, нижнего — 2м, высота — Зм.

56. Р: желоб, перпендикулярное сечение которого явля­ется параболой. Длина желоба 5 м, ширина 4 м, глубина 4 м.

57. Р: цилиндрическая цистерна, радиус основания ко­ торой 1м, длина 5м.

58. Р: правильная треугольная пирамида с основанием 2м и высотой 5м.

59. Р: правильная треугольная пирамида, обращенная вершиной вниз, сторона основания которой 4 м, высота 6 м.

60. Р: конус, обращенный вершиной вниз, радиус основания которого 3 м, высота 5м.

61. Р: усеченный конус, у которого радиус верхнего основания равен 3 м, нижнего — 1м, высота — 3м.

62. Р: конус с радиусом основания 2 м и высотой 5 м.

63. Р: правильная четырехугольная усеченная пирамида, у которой сторона верхнего основания 8 м, нижнего — 4 м, высота— 2м.

64. Р: параболоид вращения, радиус основания которо­го 2м, глубина 4м.

65. Р: половина эллипсоида вращения, радиус основания которого 1м, глубина 2м.

66. Р: усеченная четырехугольная пирамида, у которой сторона верхнего основания равна 2 м, нижнего — 4 м, высо­та — 1м.

67. Р: правильная шестиугольная пирамида со стороной основания 1 м и высотой 2м.

68. Р: правильная шестиугольная пирамида с верши­ной, обращенной вниз, сторона основания которой 2 м, высота 6м.

69. Р: цилиндр с радиусом основания 1 м и высотой 3 м.

70. Р: правильная усеченная шестиугольная пирамида, у которой сторона верхнего основания равна 1 м, нижнего — 2 м, высота — 2 м.

71. Р: желоб, в перпендикулярном сечении которого лежит полуокружность радиусом 1м, длина желоба 10 м.

72. Р: правильная усеченная шестиугольная пирамида, у которой сторона верхнего основания равна 2 м, нижнего — 1м, высота — 2м.

73. Р: полусфера радиусом 2м.

Вычислить работу, затрачиваемую на преодоление силы тяжести при построении сооружения Q из некоторого матери­ала, удельный вес которого - (Результат округлить до целого числа.)

74. Q: правильная усеченная четырехугольная пирами­ да, сторона верхнего основания которой равна 2 м, нижнего 4м, высота 2м; = 24кН/м³.

75. Q: правильная шестиугольная пирамида со сторо­ной основания 1м и высотой 2м; — 24кН/ м³ .

76. Q: правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 2м и высотой 4м; - 24кН/ м³.

77. Q: правильная шестиугольная усеченная пирамида, сторона верхнего основания которой равна 1 м, нижнего 2м, высота — 2м; = 24кН/м³.

78. Q: правильная треугольная пирамида со стороной основания 3 м и высотой 6м; = 20кН/м³ .

79. Q: конус, радиус основания которого 2 м, высота 3 м; = 20 кН/м³.

80. Q: усеченный конус, радиус верхнего основания которого равен 1 м, нижнего — 2 м, высота — 2 м; — 21 кН/ м³

Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры Ф, ограниченной данными линиями.

81. Ф — треугольник, стороны которого лежат на пря­мых х + у = a, x = 0 и y = 0.

82. Ф ограничена эллипсом х²/а² + у²/b² = 1 и осями координат (х 0, у 0).

83. Ф ограничена первой аркой циклоиды

х — a(t — sin t), у = a(l — cost) и осью Ох.

84. Ф, ограничена кривыми у = х², .

85. Ф ограничена дугой синусоиды у = sin x и отрезком оси Ох ().

86. Ф ограничена полуокружностью и осью Ох.

87. Ф ограничена дугой параболы (а > 0, b > 0), осью Ох и прямой х = b.

88. Ф ограничена дугой параболы (а > 0, b > 0), осью Оy и прямой y = b.

89. Ф ограничена замкнутой линией у² = ах³ - х⁴.

90. Ф ограничена осями координат и дугой астроиды, расположенной в первом квадранте.

91. Ф — сектор круга радиусом R с центральным углом, равным 2а.

92. Ф ограничена кардиоидой = а(1 +cos).

93. Ф ограничена первой петлей лемнискаты Бернулли = a²cos2.

94. Ф ограничена осями координат и параболой.

95. Ф ограничена полукубической параболой ау² = х³ и прямой х = а (а > 0).

96. 

97. 

98. 

99. r = 3 + sin2 между смежными наибольшим и наименьшим радиус-векторами.

100. r = 2 — cos3 между смежными наибольшим и наименьшим радиус-векторами.

Задача 7. Определить и изобразить область существования следующей функции:

7.1. ; 7.2. ;

7.3. ; 7.4.;

7.5.; 7.6.;

7.7.; 7.8.;

7.9.; 7.10.;

7.11.; 7.12.;

7.13.; 7.14.;

7.15.; 7.16.;

7.17.; 7.18.;

7.19.; 7.20.;

7.21.; 7.22.;

7.23.; 7.24.;

7.25.; 7.26.;

7.27.; 7.28.;

7.29.; 7.30.;

7.31.; 7.32.;

7.33.; 7.34.;

7.35.; 7.36.;

7.37.; 7.38.;

7.39.; 7.40.;

7.41.; 7.42.;

7.43.; 7.44.;

7.45.; 7.46.;

7.47.; 7.48.;

7.49.; 7.50.;

7.51.; 7.52.;

7.53.; 7.54.;

7.55.; 7.56.;

7.57.; 7.58.;

7.59.; 7.60.;

7.61.; 7.62. ;

7.63.; 7.64.;

7.65.; 7.66.;

7.67.; 7.68.;

7.69.; 7.70.;

7.71.; 7.72.;

7.73.; 7.74.;

7.75.; 7.76.;

7.77.; 7.78.;

7.79.; 7.80.;

7.81.; 7.82.;

7.83.; 7.84.

7.85.; 7.86.;

7.87.; 7.88.;

7.89.; 7.90.;

7.91.; 7.92.;

7.93.; 7.94.;

7.95.; 7.96.;

7.97.; 7.98.;

7.99.; 7.100..

Задача 8. Найти частные производные 1-го порядка следующей функции:

8.1.; 8.2.;

8.3.; 8.4.;

8.5.; 8.6.;

8.7.; 8.8.;

8.9.; 8.10.;

8.11.; 8.12.;

8.13.; 8.14.;

8.15.; 8.16.;

8.17.; 8.18.;

8.19.; 8.20.;

8.21.; 8.22.;

8.23.; 8.24.;

8.25.; 8.26.;

8.27.; 8.28.;

8.29.; 8.30.;

8.31.; 8.32.;

8.33.; 8.34.;

8.35.; 8.36.;

8.37.; 8.38.;

8.39.; 8.40.;

8.41.; 8.42.;

8.43.; 8.44.;

8.45.; 8.46.;

8.47.; 8.48.;

8.49.; 8.50.;

8.51.; 8.52.;

8.53.; 8.54.;

8.55.; 8.56.;

8.57.; 8.58.;

8.59.; 8.60.;

8.61.; 8.62.;

8.63.; 8.64.;

8.65.; 8.66.;

8.67.; 8.68.;

8.69.; 8.70.;

8.71.; 8.72.;

8.73.; 8.74.;

8.75.; 8.76.

8.77.; 8.78.;

8.79.; 8.80.;

8.81.; 8.82.;

8.83.; 8.84.;

8.85.; 8.86.;

8.87.; 8.88.;

8.89.; 8.90.;

8.91.; 8.92.;

8.93.; 8.94.;

8.95.; 8.96.;

8.97.; 8.98.;

8.99.; 8.100..

Задача 9.. Дано: функция z=f(x,y), точка , вектор .

Найти:

1) grad z в точке А;

2) производную функции f(x,y) в точке А в направлении ;

3) уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z=f(x,y) в точке . Добавить дифференциальные операции поля

9.1.;

9.2.;

9.3.;

9.4.;

9.5.;

9.6.;

9.7.;

9.8.;

9.9.;

9.10.;

9.11.;

9.12.;

9.13.;

9.14.;

9.15.;

9.16.;

9.17.;

9.18.;

9.19.;

9.20.;

9.21.;

9.22.;

9.23.;

9.24.;

9.25.;

9.26.;

9.27.;

9.28.;

9.29.;

9.30.;

9.31.;

9.32.;

9.33.;

9.34.;

9.35.;

9.36.;

9.37.;

9.38.;

9.39.;

9.40.;

9.41.;

9.42.;

9.43.;

9.44.;

9.45.;

9.46.;

9.47.;

9.48.;

9.49.;

9.50.;

9.51.;

9.52.;

9.53.;

9.54.;

9.55.;

9.56.;

9.57.;

9.58.;

9.59.;

9.60.;

9.61. ;

9.62.

9.63.;

9.64.;

9.65.;

9.66.;

9.67.;

9.68.;

9.69.;

9.70.;

9.71.;

9.72.;

9.73.;

9.74.;

9.75.;

9.76.;

9.77.;

9.78. ;

9.79.;

9.80.;

9.81.;

9.82.;

9.83.;

9.84.;

9.85.;

9.86.

9.87.;

9.88.;

9.89.;

9.90.;

9.91.;

9.92.;

9.93.;

9.94.;

9.95.;

9.96.;

9.97.;

9.98.;

9.99.;

9.100..

Задача 10. Найти экстремумы функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. ;

31. ;

32. ;

33. ;

34. ;

35. ;

36. ;

37. ;

38. ;

39. ;

40. ;

41. ;

42. ;

43. ;

44. ;

45. ;

46. ;

47. ;

48. ;

49. ;

50. ;

51. ;

52. ;

53. ;

54. ;

55. ;

56. ;

57. ;

58. ;

59. ;

60. ;

61. ;

62. ;

63. ;

64. ;

65. ;

66. ;

67. ;

68. ;

69. ;

70. ;

71. ;

72. ;

73. ;

74. ;

75. ;

76. ;

77. ;

78. ;

79. ;

80. ;

81. ;

82. ;

83. ;

84. ;

85. ;

86. ;

87. ;

88. ;

89. ;

90. ;

91. ;

92. ;

93. ;

94. ;

95. ;

96. ;

97. ;

98. ;

99. ;

100. .

Задача 11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области, заданной неравенствами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. ;

31. ;

32. ;

33. ;

34. ;

35. ;

36. ;

37. ;

38. ;

39. ;

40. ;

41. ;

42. ;

43. ;

44. ;

45. ;

46. ;

47. ;

48. ;

49. ;

50. ;

51. ;

52. ;

53. ;

54. ;

55. ;

56. ;

57. ;

58. ;

59. ;

60. ;

61. ;

62. ;

63. ;

64. ;

65. ;

66. ;

67. ;

68. ;

69. ;

70. .

71. ;

72. ;

73. ;

74. ;

75. ;

76. ;

77. ;

78. ;

79. ;

80. ;

81. ;

82. ;

83. ;

84. ;

85. ;

86. ;

87. ;

88. ;

89. ;

90. ;

91. ;

92. ;

93. ;

94. .

95. ;

96. ;

97. ;

98. ;

99. ;

100. .

Задача 12. Вычислить повторные интегралы

00; 34; 68 ;	01; 35; 69 ;
02; 36; 70 ;	03; 37; 71 ;
04;38;72 ;	05; 39; 73 ;
06;40;74 ;	07; 41; 75 ;
08; 42; 76 ;	09; 43; 77 ;
10; 44; 78 ;	11;45;79;
12;46;80;	13; 47; 81
14;48;82 ;	15; 49; 83 ;
16; 50; 84 ;	17;51; 85 ;
18; 52; 86 ;	19; 53; 87 ;
20; 54; 88 ;	21;55; 89 ;
22; 56; 90 ;	23;57; 91;
24;58;92;	25; 59; 93 ;
26; 60; 94 ;	27; 61; 95 ;
28;62;96 ;	29;63;97 .
30; 64; 98	31; 65; 99
32; 66	33; 67

Задача 13. Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования изобразить на чертеже.

00; 36; 72 ;	01; 37; 73 ;
02; 38; 74 ;	03; 39; 75 ;
04; 40; 76 ;	05; 41; 77 ;
06;42; 78 ;	07; 43; 79 ;
08; 44; 80 ;	09; 45; 81 ;
10; 46; 82 ;	11; 47; 83 ;
12;48;84 ;	13; 49;85;
14;50;86 ;	15; 51; 87 ;
16;52; 88 ;	17; 53; 89 ;
18; 4;90;	19;55;91 ;
20;56;92;	21;57;93;
22; 58; 94 ;	23; 59; 95 ;
24; 60; 96 ;	25; 61; 97 ;
26; 62;98 ;	27;63;99;
28; 64 ;	29; 65 .
30; 66	31; 67
32; 68	33; 69
34; 70	35; 71

Задача 14. Вычислить криволинейный интеграл

по контуру треугольника , где

00; 34; 68
01; 35; 69
02; 36; 70
03; 37; 71
04; 38; 72			B(4;1)
05; 39; 73		А(1;5)	B(5;1)
06; 40; 74		A(1;6)	B(6;1)
07; 41; 75		A(1;7)	B(7;1)
08; 42; 76		A(1;8)	B(8;1)
09; 43; 77		A(1;9)	B(9;1)
10; 44; 78		A(2;0)	B(0;2)
11; 45; 79		A(2;1)	B(0;2)
12; 46; 80		A(5;1)	B(3;4)
13; 47; 81		A(4;2)	B(5;5)
14; 48; 82		A(5;1)	B(3;6)
15; 49; 83		A(7;2)	B(2;4)
16; 50; 84		A(4:1)	B(-1;5)
17; 51; 85		A(-1;5)	B(-4;1)
18; 52; 86		A(1;-6)	B(4;-1)
19; 53; 87		A(4;4)	B(-2;2)
20; 54; 88		A(1;0)	B(-1;7)
21; 55; 89		A(-2;-5)	B(4;8)
22; 56; 90		A(-2;6)	B(4;2)
23; 57; 91		A(7;7)	B(0;4)
24; 58; 92		A(1;-6)	B(5;5)
25; 59; 93		A(-1;6)	B(-3;-3)
26; 60; 94		A(5;1)	B(-1;5)
27; 61; 95		A(-7;2)	B(1;4)
28; 62; 96		A(6;1)	B(-1;4)
29; 63; 97		A(-5;-5)	B(1;-2)
30; 64; 98		A(-1;6)	B(2;6)
31; 65; 99		A(-2;-4)	B(3;-4)
32; 66		A(-3;-5)	B(5;0)
33; 67		A(1;-5)	B(5;-2}

Задача 15. Вычислить криволинейный интеграл

,

пробегая по часовой стрелке нижнюю дугу эллипса , , если

№ варианта	а	b
00; 31; 62; 93	1	2
01; 32; 63; 94	1	4
02; 33; 64; 95	1	3
03; 34; 65; 96	1	5
04; 35; 66; 97	1	6
05; 36; 67; 98	1	7
06; 37; 68; 99	1	7
07; 38; 69	1	9
08; 39; 70	3	1
09; 40; 71	3	9
10; 41; 72	3	7
11; 42; 73	3	5
12; 43; 74	3	6
13; 44; 75	3	8
14 45; 76	2	1
15; 46; 77	2	3
16; 47; 78	2	4
17; 48; 79	2	5
18; 49; 80	2	6
19; 50; 81	2	7
20; 51; 82	4	1
21; 52; 83	4	2
22; 53; 84	4	3
23; 54; 85	4	5
24; 55; 86	4	6
25; 56; 87	5	1
26; 57; 88	5	2
27; 58; 89	5	3
28; 59; 90	5	4
29; 60; 91	6	2
30; 61; 92	6	3