Задача 6.

6.a. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

и .

Решение. Построим графики данных кривых:

Найдём точки пересечения данных кривых: Тогда по формуле имеем:

Окончательно имеем:

6.b. Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной кривыми и .

Решение. Построим графики данных кривых:

Для отыскания и воспользуемся формулами:

Найдём точки пересечения кривых: и , тогда ,

Имеем:

Откуда

Задача 7. Найти область определения функции .

Решение. Логарифмическая функция определяется только при положительном значении аргумента, поэтому , или .

Значит, границей области будет линия , т.е. парабола.

Из неравенства получаем, что областью определения данной функции является заштрихованная часть плоскости без точек параболы.

Задача 8. Найти частные производные 1-го порядка функции .

Решение. Находим частную производную по x данной функции, считая y постоянной и используя формулу дифференцирования сложной функции одной переменной:

,

аналогично вычисляем производную по y.

.

Задача 9. Даны функция , точка А(-1;0), вектор .

Найти:

9.а. grad z в точке А;

9.b. производную функции f(x,y) в точке А в направлении ;

9.c. уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z=f(x,y) в точке

Решение.

9.а. По определению grad z=.

Вычислим частные производные и их значения в точке А.

; ; ; .

Следовательно: grad .

9.b. Справедлива формула (1) , где - угол, образованный вектором с осью OX.

Здесь ; .

Тогда, применяя формулу (1), получим:

.

9.c. Найдём значение функции в точке А(-1;0). . Тогда С(-1;0;1).

Уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке имеет вид

, (2)

а уравнение нормали –

. (3)

Подставим найденные значения частных производных в точке А(-1;0) в формулу (2), найдём уравнение касательной плоскости в точке С(-1;0;1): или , а уравнение нормали на основании формулы (3) запишется в виде: .

Задача 10. Найти экстремум функции .

Решение. Находим стационарные точки функции. Для этого вычисляем первые частные производные данной функции:

; .

Приравнивая их к нулю, получаем систему уравнений

,

из которой определяем стационарные точки данной функции:

, , ,.

Теперь воспользуемся достаточными условиями экстремума. Вычислим вторые частные производные:

, , ,

.

Имеем: для точки , т.е. экстремума нет, для точки , т.е. экстремума нет, для точки , т.е. экстремума нет, для точки , , т.е. имеем точку локального минимума функции, в которой .

Задача 11. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области , ограниченной линиями x=0, y=0, x+y-1=0.

Решение. Область задания функции представляет собой треугольник, ограниченный координатными осями и прямой x+y =1.

Выясним, существуют ли стационарные точки, лежащие внутри данной области , т.е. внутри треугольника ОАВ.

Имеем

х=-10, у=-3

Получили точку М(-10; 3). Она не принадлежит области , следовательно значение функции в ней не учитываем.

Исследуем значения функции на границе области . Поскольку граница состоит из трёх участков, описанных тремя разными уравнениями, то приходится исследовать функцию на каждом участке отдельно.

Исследуем функцию на участке ОА, где А(1;0). Уравнением связи является у=0. С учётом его функция представима в виде z=3х. Так как , то стационарных точек на отрезке ОА нет. Найдём значение функции z=3x в точке О и А соответственно , .

Исследуем функцию на участке ОВ, где В(0;1). Уравнением связи является у=0. С учётом его функция представима в виде . Тогда . Находим стационарную точку из уравнения ; получаем, что у=2. Стационарная точка не принадлежит области . Значение функции в точке В .

Исследуем функцию вдоль участка прямой х+у=1. Подставляя у=1-х в выражение для функции, получим: , тогда , -4х+2=0, , . Стационарная точка принадлежит области . Значение функции в ней .

Сравниваем значения , , , , заключаем, что 3,5 – наибольшее значение функции, достижимое в точке , а 0 – наименьшее значение, достигаемое в точке (0,0).

, .

Задача 12. Вычислить повторный интеграл

.

Решение. Чтобы вычислить повторный интеграл, нужно вычислить внутренний, а потом – внешний [1, с. 382], при этом при вычислении внутреннего интеграла переменная интегрирования внешнего интеграла (в данном случае переменная ) считается постоянной. Следовательно,

=

.

Задача 13. Изменить порядок интегрирования в следующих интегралах:

13.a. ;

13.b. .

Решение. Для решения следует изучить [1, с. 382-384].

13.a. Изобразим область интегрирования на чертеже (рис. 1): она ограничена линиями , , , .

Рис. 1

Эта область является правильной и в направлении оси , однако ее правая граница задается двумя линиями: отрезками прямых и , поэтому ее придется разбить на две части. Следовательно

.

13.b. Область интегрирования ограничена линиями , , , (рис. 2).

Рис. 2

Она является правильной и в направлении оси , но ее верхняя граница состоит из двух линий: дуги параболы и дуги окружности . Следовательно, ее придется разбить на две части, поэтому

.

Задача 14. Вычислить криволинейный интеграл

по контуру треугольника , где , , .

Решение. Так как контур треугольника состоит из трех отрезков (сторон треугольника), то

,

при этом мы предполагаем, что контур обходится против часовой стрелки.

Рассмотрим отдельно каждый интеграл.

Уравнение , , тогда , , т.е. считаем, что – параметр. Следовательно

.

Уравнение , тогда , поэтому

.

Уравнение , , тогда , , поэтому

.

Отв.: .

Задача 15. Вычислить криволинейный интеграл

,

пробегая против часовой стрелки верхнюю дугу окружности .

Решение. Если точка пробегает верхнюю дугу окружности против часовой стрелки, то параметр изменяется от до : . Так как , , то

.

Отв.: .