МП-матрица_Пример_Шаблон_1

Тема: Построение псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза

ПЗ № 5b)d),(пример 2.1.(скелетное разложение)) №14 b) Примеры 2.2. .(МП-матрица),2.5

ДЗ № 5 с), 14с)

Задание: Для заданной матрицы А построить псевдообратную матрицу Мура-Пенроуза, А=

Алгоритм:

1). Построить скелетное разложение матрицы А

1. Определить размер матрицы А

2. Определить ранг матрицы А

(для этого матрицу А элементарными преобразованиями приводим к ступенчатому виду)

3. Установить размеры матриц и

4. Составить матрицу В из из линейно-независимых столбцов матрицы А.

Для этого в матрице ступенчатого вида выбираем базисный минор и составляем матрицу В из тех столбцов матрицы А, на которых расположен выбранный базисный минор

5. Вычислить матрицу С, решив уравнение ВС=А, относительно С .

Для этого в ступенчатой матрице удаляем нулевые строки, с помощью дополнительных элементарных преобразований строк всей матрицы преобразовываем выбранную базисную матрицу в единичную матрицу. Полученная матрица и будет матрицей С.

Проверка: вычислить матрицу ВС, сравнить ВС=А.

2). По скелетному разложению строим псевдообратную матрицу А^*

6. Вычислить матрицу С^* (С^* = (С͞ )^Т)

7. Вычислить матрицу СС^*

8. Вычислить матрицу (СС^*)^-1

9. Вычислить матрицу С⁺ = (С^*(СС^*)^-1)

10. Вычислить матрицу В^* (В^* = (В͞ )^Т)

11. Вычислить матрицу В^*В

12. Вычислить матрицу (В^*В)^-1

13. Вычислить матрицу В⁺ = (В^*(В^*В)^-1)

14. Вычислить псевдообратную матрицу А⁺ (A⁺ = C⁺ B⁺ )

15. Проверка: А = А А⁺ А

Пример:

1). Построить скелетное разложение матрицы А

А=

1. Определить размер матрицы А

А=[а_ij ] ϵ C^3x3

2. Определить ранг матрицы А

→→=> rank A=2=r

3. Определить размер матриц В и С

В ϵ С^mxr => В ϵ С^3x2 ; C ϵ С^rxn => C ϵ С^2x3

4. Составить матрицу В, размерности 3x2, из двух (т. к. rank A=2) линейно независимых столбцов матрицы А (например, первые два столбца матрицы А).

B=

5. Составить матрицу С размерности 2х3. Т. к. в матрицу В вошли первые два столбца матрицы А, поэтому первые два столбца матрицы С будут единичными.

C=

5.* Вычислить матрицу С, решив уравнение ВС=А, относительно С .

а). записать матрицу ВС с переменными

BC= =

б). приравнять ВС=А

=

Х =1, У = 0

Получим матрицу С =

добавить пример, когда базисный минор не в первых столбцах (1 и 2 л-з)

2). По скелетному разложению строим псевдообратную матрицу А^*

6. Вычислить матрицу С^* (С^* = (С͞ )^Т)

C^* =

7. Вычислить матрицу СС^*

СС^* = =

8. Вычислить матрицу (СС^*)^-1

det (CC⁺) = 2

(СС^*)^-1 =

9. Вычислить матрицу С⁺ = (С^*(СС^*)^-1)

C⁺= =

10. Вычислить матрицу В^* (В^* = (В͞ )^Т)

В^* =

11. Вычислить матрицу В^*В

В^*В = =

12 . Вычислить матрицу (В^*В)^-1

det (В^*В) = 3

(В^*В)^-1 =

13. Вычислить матрицу В⁺ = (В^*(В^*В)^-1)

В⁺ = =

14. Вычислить псевдообратную матрицу А⁺ (A⁺ = C⁺ B⁺ )

A⁺ = =

Выполним проверку: A A⁺ A = A

A A⁺ = =

A A⁺ A = =

Шаблон:

1). Построить скелетное разложение матрицы А

1. Определить размер матрицы А

2. Определить ранг матрицы А

3. Определить размер матриц и

B C

4. Составить матрицу В из линейно-независимых столбцов матрицы А

5. Вычислить матрицу С, решив уравнение ВС=А, относительно С .

Проверка: вычислить матрицу ВС.

ВС=А

2). По скелетному разложению строим псевдообратную матрицу А^*

5. Вычислить матрицу С^* (С^* = (С͞ )^Т)

6. Вычислить матрицу СС^*

7. Вычислить матрицу (СС^*)^-1

8. Вычислить матрицу С⁺ = (С^*(СС^*)^-1)

9. Вычислить матрицу В^* (В^* = (В͞ )^Т)

10. Вычислить матрицу В^*В

11. Вычислить матрицу (В^*В)^-1

12. Вычислить матрицу В⁺ = (В^*(В^*В)^-1)

13. Вычислить псевдообратную матрицу А⁺ (A⁺ = C⁺ B⁺ )

=

14. Проверка: А = А А⁺ А

ПЗ №12 а), 3г), 14 а), 15 а) Пример 2.1.(скелетное разложение), пример 2.2.(МП-матрица)

ДЗ № 12 с), 13к)