Тема 11. Элементы квантовой механики
Французский ученый Луи де Бройль в 1923 году выдвинул гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма, т.е. не только фотоны, но и электроны и любые другие частицы наряду с корпускулярными обладают также волновыми свойствами.
Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц
и
Таким образом, любой частице, обладающей импульсом, сопоставляют волновой процесс с длиной волны
-
формула волны
де-Бройля
На частицы вещества переносится также связь между полной энергией частицы Е и ν волн де Бройля.
Но тогда волновые свойства должны быть присущи и макроскопическим телам. Например, частице массой 1г, движущейся со скоростью 1м/с соответствует волна де Бройля λ= 10-28м. Такая длина волны лежит за пределами доступной наблюдению области. Поэтому считается, что макроскопические тела проявляют только корпускулярные свойства.
Рассмотрим свойства волн де Бройля. Пусть частица массой m движется со скоростью υ.
Фазовая скорость – скорость перемещения фазы волны
где
– волновое число;ω
– циклическая
частота волны.
Групповая скорость - скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени в пространстве волновой пакет
Для свободной частицы
Тогда
Таким образом, групповая скорость волн де Бройля равна скорости частицы.
Групповая скорость фотона
равна скорости самого фотона.
Согласно двойственной корпускулярно-волновой природе микрочастиц, используются то волновые, то корпускулярные представления. Поэтому необходимы некоторые ограничения в применении к объектам микромира понятий классической механики.
В классической механике всякая частица движется по определенной траектории, поэтому в любой момент времени фиксированы ее координата и импульс. В случае микрочастиц этого сказать нельзя, это следует из корпускулярно-волнового дуализма. То есть нельзя говорить о движении микрочастицы по определенной траектории и точных значениях ее координаты и импульса.
Таким образом, микрочастица не может иметь одновременно определенную координату (x, y, z) и определенную соответствующую проекцию импульса (px, py , pz), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условиям
-
соотношение
неопределенностей Гейзенберга
Соотношение неопределенностей Гейзенберга – квантовое ограничение применимости классической механики к микрообъектам.
Из гипотезы де Бройля и соотношения неопределенностей вытекает, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого вытекали бы волновые свойства частиц. Следовательно, это уравнение должно быть волновым.
Это уравнение было сформулировано Шредингером и имеет вид
-
уравнение
Шредингера
где
- постоянная Планка,m
– масса частицы,
-
оператор Лапласа, i
– мнимая
единица,
U (x, y ,z ,t ) - потенциальная энергия частицы,
-
волновая функция частицы.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний
где Е – полная энергия частицы, в случае стационарного поля постоянная.