Методичка по сопромату (I семестр)

де f – стріла прогину, тобто найбільший за абсолютною величиною прогин балки;

[f] – допустима стріла прогину. Норми проектування рекомендують

для підкранових балок, де l - прольот балки.

Розрахунок будівельних конструкцій на жорсткість виконується за граничним станом – непридатність до нормальної експлуатації. Умова жорсткості балок (3.22).

Прогини y і кути повороту θ в балках постійних поперечних перерізів зручно визначати методом початкових параметрів. Універсальне рівняння пружної лінії балки для прогинів має вигляд

де EJ – жорсткість балки при згинанні;

y0 і θ0 – прогин і кут повороту на початку координат;

Mi, Fi, qi – діючі на балку зосереджені моменти, сили і рівномірно розподілені навантаження;

ai, bi, ci – відстані від початку координат до точки прикладання зосередженого моменту Mi, сили Pi і початку дії рівномірно розподіленого навантаження qi.

Універсальне рівняння пружної лінії балки для кутів повороту можна легко одержати, якщо взяти похідну від (3.23) [1].

Методом початкових параметрів можна користуватися тільки при виконанні таких умов.

1.Жорсткість балки EJ повинна бути на усіх ділянках постійною.

2.Початок координат для всіх ділянок повинен бути загальним в

крайній лівій або правій точках балки.

3.Рівномірно розподілене навантаження не повинно перериватися при пересуванні в сторону, яка є протилежною початку координат.

4.В рівняння (3.23) підставляються тільки ті зовнішні сили, які діють між початком координат і перерізом. Вони вважаються додатними, якщо визивають у перерізі додатний згинальний момент.

5.Початкові параметри EJy0 і EJθ0 визначаються з умов закріплення

балки.

3.2.Розрахунок балок на міцність

Якщо початок координат прийняти в крайній правій точці балки, то після розв’язання задачі в кутах повороту треба змінити знаки

61

Приклад 3.1. Визначити найбільші нормальні і дотичні напруження в небезпечних перерізах балки (рис. 3.1).

Розв’язання виконуємо в такому порядку: 1. Визначити опорні реакції.

Так як балка симетрична, то з умови рівноваги знаходимо

VA =VB = 12 (ql − P)= 12 (4 6 − 20)= 2кН.

2.Побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів. Виділяємо дві ділянки І і ІІ (рис. 3.1).

Ділянка І (0≤x≤3м)

Q(x) =VA − qx - л.ф. Q x=0 = 2кН, Q x=3м = 2 − 4 3 = −10кН.

Так як Q змінює знак на ділянці, знаходимо точку екстремуму функції М

Згідно обчислених значень Q і M на рис. 3.1 побудовані епюри

поперечних сил і згинальних моментів на І ділянці. Другу ділянку можна не розглядати. Для симетричної балки епюра M повинна бути симетричною, а епюра Q - кососиметричною.

62

Рис. 3.1

3.Визначити небезпечні перерізи балки.

Зепюр Q і M видно, що небезпечним перерізом балки є середина

прольоту, де діють |Mmax|=12кНм та |Qmax|=10кН. 4. Визначити напруження.

Найбільші нормальні напруження визначаємо за

формулою (3.2)

Приклад 3.2. Перевірити міцність балки (рис. 3.2), якщо

[σ]=160МПа, а [τ]=100МПа.

65

Для даної балки епюри Q і М зображені на рис. 3.3. За цими епюрами знаходимо |M|max=18кНм і |Q|max=12кН.

З умови міцності балки за нормальними напруженнями (3.4) знаходимо

ε = 0.36 100 = 4.5% < 5% , що дозволяється.

8

Перевіримо міцність балки за дотичними напруженнями

(3.13)

в балках круглих поперечних перерізів дотичні напруження малі у порівнянні з нормальними напруженнями.

Приклад 3.4. Підібрати двотавровий переріз балки, що зображена на рис.3.4, при [σ]=160МПа і [τ]=100МПа.

66

Спочатку обчислимо реакції опор та побудуємо епюри Q і М. Вони зображені на рис. 3.4. З епюри М витікає, що небезпечним перерізом балки за нормальними напруженнями є середина прольоту, де діє |M|max=86.5кНм. При цьому з умови міцності (3.4) маємо

Jz=7780см4, Sz=292см3, h=300мм, b=145мм, d=6.5мм, t=10.7мм).

67

При цьому двотаврі максимальні нормальні напруження будуть дорівнювати

ε = 6.99 100 = 4.37% < 5%, що дозволяється. 160

З епюри Q видно, що небезпечними перерізами балки за дотичними напруженнями є перерізи на опорах, де діє |Q|max=190кН. В цих перерізах обчислюємо за формулою (3.13) максимальне дотичне напруження

недопустимо. Тому треба збільшити № двотавра. Спробуємо

міцність балки за дотичними напруженнями забезпечена. Перевіримо міцність балки за головним напруженням

(3.15) за IV-ю теорією міцності. Як видно з епюр Q і M, небезпечним щодо головних напружень є переріз С, де діють M

=74.4 кНм і |Q| =182 кН. Обчислюємо в цьому перерізі

68

напруження σ за формулою (3.1) і τ за формулою (3.7) в точках переходу від стінки до полиць двотавра

на ε = 3,12 100 =1.95% < 5%, що дозволяється.

160

Таким чином, приймаємо двотавр №33. Він задовольняє умовам міцності за нормальними, дотичними і головними напруженнями.

Приклад 3.5. Перевірити міцність чавунної балки таврового перерізу (рис.3.5) за нормальними та дотичними напруженнями, якщо допустимі напруження [σ+]=40 МПа, [σ-] =110 МПа, [τ]=32 МПа.