Методичка по сопромату (I семестр)

1

Розрахунково-проектувальні роботи з опору матеріалів (розділ “Статично визначені системи”) / Навчальний посібник І.М.Іщенко, О.Г.Кіслов, С.А.Біндюг, І.М.Лисяков. – Харків: 2002. – 98с.

Викладено основні відомості з теорії найбільш важливих розділів опору матеріалів та методика виконання студентами розрахунково-проектувальних робіт із застосуванням ПЕОМ.

Для студентів спеціальностей: 7.092105, 7.092106, 7.090228, 7.090210, 7.090211, 8.090214

Іл. 67 Табл. 3 Бібліогр. 3 назв.

Рецензенти:

Е.Д. Чихладзе, д-р техн. наук, професор (Харківська державна академія залізничного транспорту).

А.В. Борисов, канд. техн. наук, професор (Харківський державний технічний університет будівництва та архітектури)

2

Вступ

Опір матеріалів є виключно важливою загальноінженерною наукою, яка необхідна для формування інженера будь-якої спеціальності. Для успішного вивчення цієї науки велике значення має самостійна робота студентів із розв’язання конкретних інженерних задач та виконання розрахунково-проектувальних робіт. Саме ця практична частина курсу у найбільшій мірі сприяє розвитку інженерного мислення та накопиченню необхідних навичок розрахунку елементів будівельних конструкцій та деталей машин на міцність, жорсткість та стійкість.

Програмою курсу опору матеріалів передбачається рішення задач за всіма розділами в аудиторії під керівництвом викладача. Окрім того, з основних, найбільш важливих розділів курсу, передбачається самостійне виконання студентами розрахунково-проектувальних робіт. У першій частині курсу розрахунково-проектувальні роботи виконуються за трьома розділами: “Побудування епюр внутрішніх зусиль у стержневих системах”, “Геометричні характеристики плоских перерізів” та “Розрахунок статично визначуваних балок на міцність та жорсткість”.

Цей навчальний посібник призначений допомогти студентам опанувати методику розв’язання задач за основними розділами курсу опору матеріалів та самостійно виконати розрахунково-проектувальні роботи із застосуванням ПЕОМ. В основних розділах курсу посібника наведені коротко відомості з теорії, приклади розв’язання задач, вправи для самоперевірки засвоєння методики розв’язання задач і дані для самостійного виконання розрахунково-проектувальних робіт.

Для виконання розрахунково-проектувальних робіт у разі великого об’єму обчислень передбачається наявність готових програм для обчислень на ПЕОМ.

Результати розрахунково-проектувальних робіт повинні бути оформлені у вигляді розрахунково-пояснювальної записки, складеної на стандартних білих аркушах паперу. У розрахунково-пояснювальній записці повинна бути наведена розрахункова схема у довільному масштабі з розмірами та зовнішніми навантаженнями. Записка повинна бути написана таким чином, щоб можна було легко перевірити хід розрахунків та кінцеві результати. На кресленнях та епюрах повинні бути зображені основні розміри, знаки та значення характерних ординат.

У додатках наведені відповіді до вправ для самоперевірки, приклад оформлення титульного аркуша розрахунково-пояснювальної записки, інструкції до використання програм “USIL” (“sopmat1”), “GEOM” (“sopmat2”) та ”PROCH” (“sopmat3”), а також таблиці профілів прокатної сталі.

3

Розділ 1. ПОБУДОВА ЕПЮР ВНУТРІШНІХ ЗУСИЛЬ

УСТЕРЖНЕВИХ СИСТЕМАХ

1.1.Основні відомості з теорії

Під внутрішніми силами в опорі матеріалів розуміють сили взаємодії, які виникають між частинками тіла під впливом на нього зовнішніх сил. Ці сили зумовлюють здатність зовнішніх сил зруйнувати тіло. Тому для оцінки міцності елементів конструкцій необхідно передусім знати величину внутрішніх сил. Для їх знаходження в опорі матеріалів застосовують метод перерізів.

Рис. 1.1

Розглянемо його на конкретному прикладі. Нехай необхідно визначити внутрішні сили у довільній точці С деякого стержня, який знаходиться у рівновазі під впливом зовнішніх сил (рис. 1.1, а).

5

Із умови рівноваги лівої частини стержня можна легко одержати такі формули для визначення внутрішніх зусиль:

Таким чином, з формул (1.1) виходить, що поздовжня сила N дорівнює алгебраїчній сумі проекцій усіх зовнішніх сил, які діють з одного боку від перерізу, на вісь стержня X.

N>0, якщо проекція зовнішньої сили направлена від перерізу. Наприклад, сила F1 спричиняє у перерізі I від’ємну поздовжню силу, так як її проекція F1x направлена до перерізу (рис. 1.2).

Поперечна сила Qz дорівнює алгебраїчній сумі проекцій усіх зовнішніх сил, які діють з одного боку від перерізу, на вісь Z, а Qy — на вісь Y. Qz>0 і Qy>0, якщо при погляді з додатного напрямку осей Y і Z відповідно проекція зовнішньої сили обертає стержень відносно перерізу за годинниковою стрілкою. Наприклад, сила F1 (рис. 1.2) спричиняє у перерізі I поперечні сили

Qz>0 і Qy>0.

Крутний момент Mкр дорівнює алгебраїчній сумі моментів усіх зовнішніх сил, які діють з одного боку від перерізу, відносно осі стержня X. Mкр>0, якщо при погляді з торця зовнішня сила або момент обертають стержень відносно осі за годинниковою стрілкою. Наприклад, сила F1z (рис. 1.2) спричиняє у перерізі I момент Mкр<0.

Згинальний момент Mz дорівнює алгебраїчній сумі моментів усіх зовнішніх сил, які діють з одного боку від перерізу, відносно осі Z, а My— відносно осі Y. Mz>0 і My>0, якщо зовнішня сила або момент так згинають стержень, що його увігнутість розташована з боку додатної координатної осі Y і Z відповідно. Наприклад (рис. 1.2), від сили F1y Mz>0, а від сили F1z

My<0.

Звичайно найбільші внутрішні сили діють у тих перерізах, де виникають найбільші за абсолютною величиною внутрішні зусилля. Ці перерізи називають небезпечними.

Для визначення положення небезпечних перерізів у опорі матеріалів будують епюри внутрішніх зусиль. Епюрами внутрішніх зусиль називають графіки зміни внутрішніх зусиль вздовж осей елементів. При їх побудові дотримуються загальних правил.

1.Епюри внутрішніх зусиль будуються на осях елементів або на паралельних їм лініях. Вони називаються базовими.

2.Ординати відкладають у довільному масштабі перпендикулярно осьовим або базовим лініям.

6

3.Епюри внутрішніх зусиль штрихуються перпендикулярно осьовим або базовим лініям.

4.На епюрах проставляють знаки, значення характерних ординат та їх розмірність.

Рекомендується такий порядок побудови епюр внутрішніх зусиль:

1)визначити опорні реакції ;

2)виділити окремі ділянки (частини стержня), на протязі яких функції внутрішніх зусиль не змінюються;

3)скласти функції зусиль на кожній ділянці. Для цього потрібно у довільному перерізі ділянки, який розташовано на відстані x від обраного початку координат, скласти за формулами (1.1), з урахуванням знаків, вирази для внутрішніх зусиль;

4)обчислити значення внутрішніх зусиль у характерних перерізах та побудувати графіки їх зміни, дотримуючись наведених вище правил. Ці графіки є, за визначенням, епюрами внутрішніх зусиль;

5)перевірити правильність побудови епюр внутрішніх зусиль.

Для цього використовуються умови статики, відповідно до яких на епюрах поздовжніх та поперечних сил повинні бути стрибки у точках, де прикладені зовнішні зосереджені сили. На епюрах крутного та згинального моментів повинні бути стрибки у перерізах, де діють зовнішні зосереджені моменти. Окрім цих закономірностей для перевірки правильності побудови епюр внутрішніх зусиль використовують диференційні залежності при згинанні

З диференційних залежностей при згинанні (1.2) випливають такі особливості епюр згинальних моментів та поперечних сил:

1)на ділянках, де відсутнє розподілене навантаження, епюра Q обмежена прямими, які паралельні базовій лінії, а епюра М — похилими прямими лініями;

2)на ділянках дії рівномірно розподіленого навантаження q епюра Q обмежена похилими прямими лініями, а епюра М — квадратичними параболами, опуклості яких звернені у бік дії розподіленого навантаження;

3)якщо на ділянці при лівому початку координат згинальний момент зростає, то поперечна сила Q буде додатною, а якщо спадає, то — від’ємною;

4)у перерізах, де Q=0, згинальний момент М досягає екстремуму;

5)при лівому початку координат поперечна сила Q дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до епюри М у даному перерізі.

Якщо хоча б з одного боку від перерізу всі зовнішні сили відомі (наприклад, для консолі), то цей пункт можна не виконувати

8

N( x) = F1 − A1γ с− A2γ x — лінійна функція

N x=0 = 50 −1 22 1 = 28кН;

N x=0.6м = 28 −1.5 22 0.6 = 28 −19.8 = 8.2кН. Ділянка III (0≤ x ≤1.2 м)

N( x) = F1 − A1γ с− F2 − A2γ (0.6 + x) — лінійна функція

N x=0 = 50 −1 22 1−30 −1.5 22 0.6 = −21.8кН;

N x=1.2м = −21.8 −1.5 22 1.2 = −61.4кН.

За обчисленими значеннями N на рис. 1.3, б побудована епюра поздовжніх сил.

Для перевірки переконаємося у тому, що стрибки на епюрі N у точках прикладання зосереджених сил F1 і F2 дорівнюють цим силам. Тому реакція у затисненні RA = 61.4кН . Крім того, так як власна вага на усіх

ділянках направлена в один бік, то лінії, що обмежують епюру N, теж повинні бути нахилені в один бік по відношенню до осі стержня. Їх нахил більше на тих ділянках, на яких площа перерізу стержня більша. Легко переконатися, що ці закономірності для побудованої епюри N виконуються.

З епюри поздовжніх сил (рис. 1.3, б) видно, що для верхньої частини стержня небезпечним перерізом є переріз, у якому прикладена сила F1, а для нижньої частини — затиснення.

9

На стержень діють тільки зосереджені моменти, які розташовані у площинах, перпендикулярних до його осі. Тому в його перерізах можуть виникати лише крутні моменти. Решта внутрішніх зусиль тотожно дорівнюють нулю.

Для побудови епюри крутних моментів виділимо на стержні окремі ділянки I, II, III, IV і V. Для визначення крутних моментів на ділянках I, II і III будемо розглядати рівновагу лівих частин стержня, а на ділянках IV і V — правих, тому що невідомий момент М0. Позначення ділянок та прийняті початки координат для довільних перерізів на кожній ділянці наведені на рис. 1.4, а.

Далі, використовуючи правило визначення крутного моменту, яке наведено у розділі 1.1, знаходимо значення крутних моментів на всіх ділянках.

Ділянка I (0≤ x ≤a): Мкр = 0.

Ділянка II (0≤ x ≤a): Мкр = −М1 = −3.5кНм = const.

Ділянка III (0≤ x ≤a): Мкр = −М1 + M2 = −3.5 + 2.5 = −1кНм = const. Ділянка IV (0≤ x ≤a): Мкр = −М4 + М3 = −3 +5 = 2кНм = const.

Ділянка V (0≤ x ≤a): Мкр = −М4 = −3кНм = const.

За обчисленими значеннями на рис. 1.4, б побудовано епюру крутних моментів Мкр .

З епюри Мкр видно, що у тих перерізах, де прикладені зосереджені моменти M1 , M 2 , M3 і M 4 , маємо стрибки на величину цих моментів. У місці прикладення моменту M0 маємо стрибок знизу наверх, якщо дивитися зліва, на величину 3кНм . Тому можна стверджувати, що M 0 = 3кНм . Він

спрямований за годинниковою стрілкою, якщо дивитися зліва. Небезпечним перерізом для вала є будь-який переріз на ділянці ІІ. Таким чином, розрахунок вала на міцність та жорсткість слід виконувати за моментом 3,5кНм , не зважаючи на те, що один із зовнішніх моментів М3 = 5кНм. .

Приклад 1.3. Побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів для консолі (рис. 1.5, а).

У перерізах горизонтальних балок під дією вертикальних зовнішніх сил, що розташовані в одній площині XОY , відмінними від нуля будуть тільки два внутрішніх зусилля:

Qz - поперечна сила і M z - згинальний момент.

Вісь Х завжди збігається з віссю стержня, осі Y та Z спрямовуються вздовж головних центральних осей інерції поперечного перерізу, відповідно вверх і горизонтально (до глядача), як зображено на рис. 1.5, а