Альбом №3 (пример)

«Розрахунок деревяної балки»

Задача №1

I діл.

F=20 кН

q1=10кН/м

II діл.

X

A

B

X

1 м

2 м

VB=21.67 кН

VA=28.33 кН

28.33

18.33

+

_

1.67

Q, кН

21.67

+

M, кНм

23.33

1) Побудова епюр Q і M

а) Визначення опорних реакцій

∑ M( B) = 0 ; V( A) ×3 - F × 2 - q ×3 ×1.5 = 0

V

= F × 2 + q ×3 ×1.5

= 20 × 2 +10 ×3 ×1.5

= 28.33кН

( A)

3

3

∑ M( A) = 0 ; V(B) ×3 - F ×1 - q ×3 ×1.5 = 0

V

= F ×1 + q ×3 ×1.5

= 20 ×1 +10 ×3 ×1.5 = 21.67 кН

(B)

3

3

с) Визначення Q і M по ділянкам

I діл. (0 £ x £1м)

Q( x)

= VA - q × xx=0 = 28.33 кН x=1м = 28.33 -10 ×1 =18.33 кН

M( x)

= VA × x -

q × x2

= 0 x=1м

= 28.33 ×1 -

10 ×12

= 23.33 кНм

2 x=0

2

II діл. (0 ≤ x ≤ 2м)

Q( x)

= q × x -VB x=0 = -21.67 кН x=2 м =10 × 2 - 21.67 = -1.67 кН

M

( x)

= -

q × x2

+V × x

x=0

= 0

x=2

= -

10 × 22

+ 21.67 × 2 = 23.33 кНм

м

2

B

2

σ max

=

M max

£ [σ ];[σ ] =10 МПа; M max = 23.33 кНм

W

W =

M max

=

23.33 ×103

= 2.33 ×10

−3

3

м

[σ ]

10 ×106

3)

Прямокутний переріз

W =

I

=

b × h2

=

h3

b =

h

ymax

6

9.6

1.6

= 3

= 0.281м

h = 3 9.6 ×W

9.6 × 2.33 ×10−3

b =

0.281

= 0.176м

1.6

4)

Круглий переріз

π × d 3

W °

=

; d = 3

32 ×W

°

=

3

32 × 2.33 ×10−3

= 0.287 м

32

π

3.14

5) Перевірка по максимальним дотичним напруженням

τ

max

= k ×

Qmax

£ [τ ]; [τ ] = 2 МПа; Q

= 28.33 кН

A

max

a)

Прямокутний переріз k = 3

2

τ max =

3

×

28.33 ×103

= 0.861×106 Па = 0.861мПа £ 2мПа

2

0.281× 0.176

b)

Круглий переріз k =

4

3

τ max = 4 × 28.33 ×103 × 4

= 0.584 ×106 Па = 0.584мПа £ 2мПа

3 3.14 × 0.2872

6) Перевірка по нормальним напруженням

a)

Прямокутний переріз

σ max =

M max

× y

=

23.33 ×103

× 6

=10.096мПа

>10мПа

I

0.176 × 0.2812

δ = 10.096 −10 ×100 = 0.96% < 5%

10

b)

Прямокутний переріз

σ max =

M max

× y

=

23.33 ×103

×32

=10.054мПа >10мПа

I

3.14 × 0.2873

δ = 10.054 −10 ×100 = 0.54% < 5%

10

7)

Побудова епюр σ і τ в небезпечних перерізах

0.176 м

10.096

м

0.281

+

0.861

+

10.096

τ ,

σ , МПа

МПа

10.054

0.287 м

+

0.584

+

10.054 σ ,МПа

τ ,

МПа

«Розрахунок сталевої двотаврової балки»

Задача №2

F=60кН

II діл.

q1=20кН/м

M=40кНм

q2=10кН/м IV діл.

I діл.

III діл.

C

E

A

X

D

X

B

X

X

2

м

3 м

3 м

1.5м

VA=116.46 кН

V =18.54 кН

B

56.46

+

15

3.54

3.54

Q, кН

_

60

60

2.82 м

120

_

Mmax=40.31

кНм

40.62

0.63

11.25

M, кНм

0.00598

0.00134

0.00201

0.00222

0.01046

0

0.0047

0

0.0032

Y,м;

0.0179

T, рад

8) Побудова епюр Q і M

а) Визначення опорних реакцій

∑M(B) = 0 ; V( A) × 6 + M - F ×8 - q1 ×3 × 4.5 + q2 ×1.5 × 0.75 = 0

V( A) =

-M + F ×8 + q1

× 3 × 4.5 - q2

×1.5 × 0.75

=

-40 + 60 ×8 + 20 × 3 × 4.5 -10 ×1.5 × 0.75

=

6

6

= 116.46 кН

∑M( A) = 0 ; V(B) × 6 - M + F × 2 - q2 ×1.5 × 6.75 - q1 ×3 ×1.5 = 0

V(B) =

M - F × 2 + q2

×1.5 ×6.75 + q1 ×3 ×1.5

=

40 - 60 × 2 +10 ×1.5 ×6.75 + 20 ×3 ×1.5

=

6

6

= 18.54 кН

x=3

м = -60 +116.46 - 20 ×3 = -3.54 кН

q × x2

M

(x) = -F × (x + 2) +VA × x -

1

= -60 × 2 = -120 кНм

2 x=0

x=3

м -60 ×5 +116.46 ×3 -

20 ×32

= -40.62 кНм

IV діл. (0 £ x £1.5м)

Q( x) = q2 × xx=0

= 0x=1.5 м =10 ×1.5 =15 кН

q × x2

10 ×1.52

M(x) = -

2

= 0x=1.5 м = -

= -11.25 кНм

2

2

x=0

-F +V

A

- q × x

м

= 0 ; x

м

= −F + VA = −60 + 116.46 = 2.82м

1

q1

20

M max = -F ×

(xм + 2) + VA × xм -

q × x

м

2

= -60 × 4.82 +116.46 × 2.82 -

20 × 2.822

=

1

2

2

= −40.31 кНм

xм =2.82 м

9) Підбір двотаврового перерізу по нормальним напруженням

σ max

=

M max

£ [σ ] ;[σ ] =160 МПа; M max = −120 кНм

W

W =

M max

=

120 ×103

=

0.75 ×10

−3

3

3

м =

750 см

[σ ]

160 ×106

Обераємо із сортаменту найближчий номер двотавру №36, W * = 743 см3

z

Перевірка по перенапруженням

σ

=

M max

=

120 ×103

=161.51 МПа> 160 Мпа

max

W

0.743

×10−3

δ% =

σ max - [σ ]

×100% =

161.51 -160

×100 = 0.94% < 5%

[σ ]

160

τ

=

Qmax

× Sz

£ [τ ]; [τ ] =100 МПа; Q = −60 кН

max

d × I

max

τ max

=

60 ×103 × 4.23 ×10−4

= 25.29 МПа< 100 МПа

0.0075 ×13.380 ×10−5

σ ( y) =

M оп

× y ; τ ( y ) =

Qоп × S( y )

b( y ) × Iz

Iz

σ (1) =

M

оп

×

h

= -

120 ×103 × 0.36

= -161.4 МПа

2

13.380 ×10

−5

× 2

I z

σ (оп) = σ (

2) = σ

M

h

120 ×103

0.36

(2')

=

оп

×

- t

= -

−5

×

2

-

0.0123

= -150.4 МПа

σ (3) = 0

I z

2

13.380 ×10

τ (1)

= 0

τ (2)

=

Q

×b ×t ×(h - t )

= -

60 ×103 × 0.145 × 0.0123 ×(0.36 - 0.0123)

= -0.958 МПа

оп

b × I z

× 2

0.145 ×13.380 ×10−5 × 2

τ (оп) =τ (2') = Qоп ×b ×t ×(h - t ) =τ (2)

× b = -0.958 × 0.145 = -18.54 МПа

b × I z

× 2

d

0.0075

τ (3)

=

Q

× S

z

= -

60 ×103 × 4.23 ×10−4

= -25.29 МПа

оп

0.0075

×13.380 ×10−5

d × I z

в) визначаємо σ эквIV

σ эквIV

=

σ оп2

+ 3 ×τ оп2

=

150.42 + 3 ×18.542

=153.79 ;

σ эквIV £ [σ ]

Отже, двотавр №36 проходить по допустимим напруженням

г) будуємо епюри σ і τ

1

161.4

0

18.54

2=(2')

-

150.4

0.958

м

-

0.36

3

0

25.29

0.0075м

150.4

+

м

161.4

0.958

18.54

0.145

м

0.0123

0

τ , МПа

σ ,

МПа

12) Визначення прогину і кутів повороту методом початкових параметрів

а) універсальне рівняння пружної лінії балки

F ×( x - b )3

( x - c )4

EIy

= EIy

+ EIθ

× x + ∑

M

×( x - a )2

q ×

0

i

i

+ ∑ i

i

+ ∑ i

i

( x)

0

2

3!

4!

EIθ( x) = EIy'( x)

б) записуємо вирази EIy(x) і EIθ(x)

по ділянкам

F ×

(x - 0)3

q ×(x - 2)4

V

A

×(x - 2)3

EIy

= EIy

+ EIθ

× x -

-

1

+

+

0

0

(x)

6

24

6

I

II

0≤x≤2 м

2≤x≤5 м

+

q ×

(x - 5)4

+

M ×(x - 5)2

-

q ×(x - 8)4

+

V ×(x - 8)3

1

2

B

24

2

III

24

6

IV