7 лаб / Где квадрат

11

проекций точек пересечения очевидны: N1 А1В1, М1 В1С1. Фронтальные проекции точек N2 и М2 находим по линиям связи.

Рис.6. Пересечение призмы прямой линией

4.2. Пересечение многогранников

проецирующей плоскостью

В результате пересечения многогранника плоскостью образуется плоская фигура, которая называется сечением многогранника. Линия, ограничивающая фигуру сечения, называется линией пересечения. Фигура сечения многогран-

ника плоскостью представляет собой плоский многоугольник.

Общий прием построения проекций сечения многогранников плоско-

стью сводится к нахождению проекций точек пересечения ребер многогранни-

ков с данной плоскостью. При построении сечения многогранной поверхности плоскостью можно также находить линии пересечения граней многогранника

(плоскостей) с секущей плоскостью.

13

На рис. 7 фронтально проецирующая плоскость пересекает ребра на-

клонной треугольной призмы в точках 12, 22, 32. Спроецировав эти точки на со-

ответствующие ребра в плоскости П1, получаем точки 11, 21, 31, они определя-

ют горизонтальную проекцию фигуры сечения призмы фронтально проеци-

рующей плоскостью . Натуральная величина фигуры сечения получена мето-

дом замены плоскостей проекций (П4 П2, х24 2).

На рис. 8 построено сечение четырехугольной пирамиды горизонтально проецирующей плоскостью и определена натуральная величина фигуры се-

чения.

Х

Рис. 8. Пересечение пирамиды проецирующей плоскостью

На горизонтальной плоскости проекций П1 отмечены проекции 11, 21, 31, 41 точек пересечения плоскости с ребрами пирамиды. Их фронтальные про-

14

екции 12, 22, 32, 42 построены на фронтальных проекциях соответствующих ре-

бер по линиям проекционной связи. Для нахождения натуральной величины фигуры сечения также использован метод замены плоскостей проекций (П4

П1, х14 1).

4.3. Пересечение многогранников

плоскостью общего положения

На рис. 9 построена линия пересечения прямой четырехугольной призмы плоскостью общего положения ( 1, 2). Она представляет собой четырех-

угольник, вершины которого представляют собой точки L, M, N, Р – точки пе-

ресечения ребер АЕ, ВF, СK, DG с плоскостью . Для этого:

1.Через ребра проведены вспомогательные плоскости , , , (эти плоскости параллельны фронтальной плоскости проекций П2).

2.Построены линии, по которым эти плоскости пересекают плоскость .

Например, через ребро АЕ проведена вспомогательная плоскость . Горизон-

тальная проекция линии пересечения плоскостей и совпадает с проекцией плоскости 1. Проекция точки 11 определена как точка пересечения 1 и 1,

проекция 12 построена по линии связи. Фронтальная проекция линии пересече-

ния плоскостей и параллельна следу 2 и пересекает проекцию ребра А2Е2 в

точке L2, горизонтальная проекция точки L1 совпадает с проекцией ребра А1Е1.

Аналогично определены линии пересечения ребер ВF, СK, DG с плоско-

стью и определены точки M, N, Р (Линии пересечения параллельны между собой, так как 1 1 1 1).

3. Найденные точки соединены последовательно прямыми линиями, и

определена их видимость. Видимость сторон четырехугольника LMNР опреде-

ляется видимостью граней призмы. Стороны сечения, лежащие на видимых гранях, видимы. При этом плоскость считается прозрачной.

15

Х

Рис. 9. Пересечение призмы плоскостью общего положения

На рис.10 решена задача на построение линии пересечения треугольной пирамиды SABC плоскостью общего положения ( 1, 2). При решении зада-

чи через ребра пирамиды проведены вспомогательные фронтально проеци-

рующие плоскости: S2C2 2, S2B2 2, S2A2 2.

Точка К определена решением задачи на пересечение ребра SC с плоско-

стью . При этом через прямую SC проведена вспомогательная фронтально проецирующая плоскость . Эта плоскость пересекла плоскость по линии

1-2. В свою очередь линия 1-2 пересекла ребро SС в точке К. Точка К принад-

лежит линии пересечения пирамиды с плоскостью .

17

Точку Е определяем с помощью вспомогательной плоскости, проходя-

щей через ребро SB, а точку М – с помощью вспомогательной плоскости, про-

ходящей через ребро SA.

Найденные точки соединяем последовательно прямыми линиями. Тре-

угольник ЕМК представляет собой линию пересечения пирамиды SABC с

плоскостью ( 1, 2). Видимость сторон треугольника ЕМК определяется по принадлежности видимым или невидимым граням пирамиды (при этом плос-

кость считается прозрачной).

Задачи на пересечение многогранников плоскостью общего положения способами преобразования чертежа могут быть трансформированы в задачи на пересечение многогранников с проецирующей плоскостью.

На рис. 11 представлено решение этой задачи способом замены плоско-

стей проекций (х14 1, 4 4). Положение следа 4 определено с помощью точки N (N 2). Точки Е, К и М найдены в плоскости 4 как точки пересече-

ния 4 с ребрами пирамиды.

5. Взаимное пересечение многогранников

Линией пересечения многогранников является пространственная лома-

ная линия, состоящая из отрезков. Построение линии пересечения двух много-

гранников основано на решении тех задач, что были рассмотрены в предыду-

щем пункте. Множество точек, общих для обоих многогранников, можно по-

лучить двумя способами, комбинируя их между собой или выбирая тот, кото-

рый в зависимости от условий задания имеет более простые построения. Иско-

мая линия может быть определена и с помощью точек пересечения ребер одно-

го многогранника с гранями второго, соединяя их последовательно ломаной линией, и с помощью отрезков прямых, по которым пересекаются грани задан-

ных многогранников.

18

Рис. 11. Пересечение пирамиды плоскость общего положения с использованием способа замены плоскостей проекций

19

На рис. 12 рассмотрен пример построения сквозного призматического отверстия для правильной четырехугольной призмы. Форма призматического отверстия задана на фронтальной проекции, требуется построить горизонталь-

ную и профильную проекции отверстия и сечение призмы фронтально проеци-

рующей плоскостью.

На фронтальной плоскости проекций отмечены опорные точки призма-

тического отверстия.

На горизонтальной плоскости проекций положение точек 11, 21, 31, 41 оп-

ределено по их принадлежности граням. Т.к. грани прямой призмы являются горизонтально проецирующими, то 11 А1B1, 21 A1D1, 31 B1C1, 41 C1D1.

При этом горизонтальная проекция линии пересечения призмы и призматиче-

ского отверстия совпадает с линией горизонтальной проекции призмы.

Профильные проекции точек можно определить или абсолютным спосо-

бом, измеряя ординаты точек у на горизонтальной плоскости проекций и от-

кладывая их на профильной от оси призмы циркулем-измерителем (проекции точек 13, 33), или относительным способом по линиям связи (проекции точек

23, 43). Причем первый способ построения точнее. Положение точек 5, 6, 7, 8 на горизонтальной и профильной плоскостях проекций определены по их принад-

лежности ребрам призмы. Точки 5 и 7 принадлежат ребру ВВ', а точки 6 и 8 –

ребру DD'.

Натуральная величина сечения определена способом замены плоскостей проекций, для этого проведена новая ось х24, параллельная заданной секущей плоскости.

На рис. 13 изображена трехгранная пирамида со сквозным призматиче-

ским отверстием. Форма призматического отверстия задана также на фрон-

тальной проекции, горизонтальную и профильную проекции отверстия, а также натуральную величину сечения пирамиды проецирующей плоскостью требует-

ся построить.

20

Z

Рис. 12. Взаимное пересечение многогранников (призмы с призматическим отверстием)