7 лаб / Где квадрат

Министерство Российской Федерации по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям

и ликвидации последствий стихийных бедствий

Ивановский институт Государственной противопожарной службы

Кафедра процессов горения

И.А. Легкова, С.А. Никитина

МНОГОГРАННИКИ

Методические указания для курсантов и слушателей 1 курса специальности 280104.65

Иваново 2007

3

Оглавление

1.Введение ……………………………………………………………………….4

4.Пересечение многогранников прямой линией и плоскостью ….................. 9

4.1.Пересечение многогранников прямой линией …..………………….… 9

4.2.Пересечение многогранников проецирующей плоскостью …...…..... 11

4.3.Пересечение многогранников плоскостью общего положения …...... 14

5.Взаимное пересечение многогранников….................................................... 17

6.Рекомендации по выполнению и оформлению графической работы …... 24

4

1. Введение

Курс начертательной геометрии предусматривает изучение раздела "По-

верхности". Все поверхности можно разделить на графические, закон образо-

вания которых нам неизвестен, и геометрические, закон которых известен. К

геометрическим поверхностям относятся многогранники.

В настоящих методических указаниях содержатся сведения о способах задания многогранников и построения их проекций, приводятся примеры ре-

шения задач по пересечению многогранников плоскостью и прямой линией,

описывается методика построения линии взаимного пересечения двух пересе-

кающихся многогранников.

По данной теме курсанты и слушатели выполняют работу "Взаимное пе-

ресечение многогранников". В методических указаниях сформулировано со-

держание графической работы для самостоятельного выполнения, имеются примеры и рекомендации по оформлению работы.

6

Одновременно необходимо решить вопрос о видимости его отдельных элементов. Видимость ребер пирамиды в горизонтальной плоскости проекций П1 определена с помощью конкурирующих точек 1 и 2. Горизонтальные про-

екции точек совпадают 11 = 21; на фронтальной плоскости проекций 12 А2D2

расположена дальше от плоскости 1, следовательно А1D1 видима. Во фрон-

тальной плоскости П2 видимость определена аналогично с помощью конкури-

рующих точек 3 и 4.

3. Виды многогранников. Точки на их поверхности

Многогранники различают в зависимости от формы и количества граней.

Среди многогранников выделим призмы и пирамиды.

Призмой называется многогранник, у которого боковые грани – прямо-

угольники или параллелограммы, а основаниями служат два равных много-

угольника. Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее ос-

нований.

Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны ос-

нованиям. В противном случае призма называется наклонной. Прямая призма называется правильной, если ее основаниями являются правильные много-

угольники. В зависимости от количества сторон основания призмы бывают треугольные, четырехугольные и т.д.

На рис. 3 изображена прямая шестиугольная призма. На чертеже основа-

ния призмы удобно располагать параллельно плоскости проекций.

На ее поверхности заданы проекции точек К3 и М2, требуется по ним оп-

ределить недостающие проекции. Чтобы определить недостающие проекции точек, принадлежащих поверхности призмы, прежде всего необходимо опре-

делить, на каких гранях лежат эти точки. Проекция К3 задана невидимой, сле-

довательно, точка К лежит в грани с основанием 4-5, и горизонтальная проек-

7

ция К1 попадет на проекцию отрезка 4151. Фронтальная проекция К2 определит-

ся по линиям связи, проекция К2 будет невидимой.

Точка М лежит в грани с основанием 2-3, так как ее проекция М2 задана видимой. Проекции М1 и М3 определятся по линиям проекционной связи на соответствующих проекциях этой грани.

Рис. 3. Проекции призмы и точек К, М на ее поверхности

Пирамидой называется многогранник, у которого боковые грани – тре-

угольники, имеющие общую вершину, а основание – плоский многоугольник.

В зависимости от количества сторон основания пирамида может быть трех-,

четырех-, пятиугольной и т.д. Треугольная пирамида называется также тетраэ-

дром. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Пирамида называется правильной, если ее

основанием является правильный многоугольник, а боковые грани – равнобед-

8

ренные треугольники. Высота правильной пирамиды проходит через центр ос-

нования. В противном случае пирамида будет неправильной.

На рис. 4 представлена треугольная пирамида SАВC. Выбирая положе-

ние пирамиды для ее изображения, целесообразно располагать основание па-

раллельно плоскости проекций.

Рис. 4. Проекции пирамиды и точек N, К на ее поверхности

На поверхности пирамиды, изображенной на рис. 4, заданы проекции то-

чек N1 и К2. Определение недостающих проекций точек начинаем с определе-

ния того, какой грани принадлежит заданная точка.

Точка N лежит в грани АSC, на плоскости П1 через проекцию точки N1

проведем любой отрезок (например, S111), принадлежащий грани А1S1C1. В

9

плоскости П2 определим проекцию отрезка S212 и спроецируем на него точку

N2. Для определения профильной проекции N3 необходимо отложить коорди-

наты точки по осям х и z, которые берем с плоскостей П1 и П2: zN и уN; или оп-

ределить N3 по линиям связи. Все проекции точки N будут видимыми.

Проекция точки К2 задана видимой, следовательно, точка К лежит в гра-

ни СSB. В плоскости П2 через К2 проведем проекцию отрезка S222. Горизон-

тальную проекцию точки К1 определим с помощью проекции отрезка S121, а

профильную проекцию К3 – по координатам zК и уК или по линиям проекцион-

ной связи. Проекция К3 будет невидима, так как при взгляде на П3 грань ВSC

закрыта гранью ASC.

Определение недостающих проекций точек может производиться также методом вспомогательных секущих плоскостей. Подробно метод рассмотрен в разделе 4 настоящих методических указаний.

4. Пересечение многогранников прямой линией и плоскостью

4.1. Пересечение многогранников прямой линией

Точки пересечения прямой с поверхностью многогранника находятся с помощью секущей плоскости. На рис. 5 построены точки пересечения прямой m с поверхностью треугольной пирамиды SAВС. Через прямую m проведена вспомогательная фронтально проецирующая плоскость (m2 2), которая пе-

ресекает грани пирамиды по прямым, образующим треугольник 1-2-3. Фрон-

тальные проекции 12, 22, 32 вершин треугольника очевидны:

Найдя горизонтальные проекции 11, 21, 31 и проведя стороны треуголь-

ника, находим точки К1 и М1 пересечения сторон 1131 и 2131 с проекцией m1

прямой. (Очевидно, сторону 1121 треугольника 112131 можно и не изображать).

10

Затем по линиям связи определяем фронтальные проекции искомых точек К2 и

М2.

Рис. 5. Пересечение пирамиды прямой линией

Отрезок КМ прямой m находится внутри тетраэдра и поэтому не виден.

На фронтальной проекции справа от точки К2 и слева от точки М2 прямая m2

видна, что легко устанавливается из сравнения конкурирующих точек 2, 4 и 1, 5. На горизонтальной проекции прямая m1 видна слева от точки М1, справа же от точки К1 она не видна, так как закрыта гранью SAB пирамиды.

На рис. 6 показано построение точек пересечения прямой n с поверхно-

стью прямой треугольной призмы. Так как боковые грани призмы перпендику-

лярны горизонтальной плоскости проекций П1, положение горизонтальных