3. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Вероятность наступления события с одним из событий образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из событийна соответствующую условную вероятность события :

	(3.1)
формула Байеса.	(3.2)

4. Формулы Бернулли и Пуассона

Схема Бернулли: проводится независимых опытов, в каждом из которых событие может наступить с вероятностью , одинаковой при каждом опыте, и не наступить (событие ) с вероятностью

Тогда вероятность того, что событие наступит раз, вычисляется по формуле Бернулли:

	(4.1)
	(4.2)

Формулы Муавра-Лапласа

(4.3)

где где

(4.4)

5. Случайная величина. Законы их распределения

Случайная величина – это переменная величина, которая принимает различные значения в зависимости от случайных обстоятельств с определенными вероятностями для каждого значения.

Виды случайных величин:

а) дискретные (ДСВ), принимают конечное или счетное множество значений;

б) непрерывные (НСВ), принимают любые значения, принадлежащие интервалу.

Случайная величина Х считается заданной, если известен закон ее распределения, под которым понимают определенное соотношение между значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями

Закон распределения ДСВ Х может быть задан:

а) таблично, с указанием всех значений случайной величины и соответствующих им вероятностей, причем сумма всех вероятностей равна единице.

			…			(5.1)
			…

б) аналитически, с помощью интегральной функции (функции распределения вероятностей)

	(5.2)
	(5.3)

в) графически, в виде полигона или ступенчатого графика.

Закон распределения НСВ Х может быть задан аналитически:

а) с помощью интегральной функции (функции распределения вероятностей):

б) с помощью дифференциальной функции (плотности распределения вероятностей):

(5.4)

Интегральная функция может быть выражена через дифференциальную функцию:

(5.5)

Вероятность попадания НСВ в интервал рассчитывается по одной из формул:

	(5.6)
	(5.7)

Некоторые свойства функции распределения вероятности нсв х

1. 

2. неубывающая функция, т.е. если то

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат отрезку топриипри

Некоторые свойства дифференциальной функции (плотности распределения вероятностей)

1) 2)

6. Числовые характеристики случайных величин.

Математическое ожидание случайной величины:

Математическое ожидание случайной величины – это среднее значение случайной величины, взвешенное по вероятностям.

Формулы вычисления

для ДСВ т.к.то

(6.1)

для НСВ

(6.2)

Свойства

1)	(6.3)
2)	(6.4)
3)	(6.5)
4)	(6.6)
где и – независимые случайные величины
5)	(6.7)
6)	(6.8)

Дисперсия случайной величины:

Дисперсией случайной величиныназывается математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

(6.9)

Формулы вычисления

для ДСВ

(6.10)

для НСВ

(6.11)

для любой случайной величины

(6.12)

Свойства дисперсии

1)	(6.13)
2)	(6.14)
3)	(6.15)

Среднее квадратическое отклонение:

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется арифметическое значение квадратного корня из ее дисперсии:

(6.16)

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение характеризуют вариацию значений случайной величины около ее среднего значения.

В частности показывает, на сколько, в среднем отклоняются значения случайной величины от ее математического ожидания.

Мода и медиана

Модой случайной величиныназывается такое ее значение, для которого

(6.17)

Медиану находят из условия

(6.18)

7. Некоторые дискретные распределения

Биномиальный закон распределения

ДСВ имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения с вероятностями

(7.1)

где

Числовые характеристики биномиального распределения:

	(7.2)
	(7.3)
	(7.4)
где целое число;
Коэффициент вариации
	(7.5)
Коэффициент асимметрии
	(7.6)
Коэффициент эксцесса
	(7.7)