СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

1. Комбинаторика

Группы, составленные из каких-либо элементов, называются соединениями.

Три основных вида соединений: размещения, перестановки, сочетания.

Размещения

Размещениями из элементов пов каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения,

Число размещений из элементов по вычисляется по формуле:

(1.1)

Перестановки

Размещение из элементов поэлементов называются перестановками из данныхэлементов.

число перестановок.

(1.2)

Сочетания

Сочетаниями из элементов поназываются такие соединения, которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.

Число сочетаний из элементов повычисляется по формуле:

.

(1.3)

Два основных принципа комбинаторики:

1. Комбинаторный принцип умножения (правило умножения).

Задача. Требуется выполнить последовательно действий. Если первое действие можно выполнитьспособами, второеспособами, третьеоеспособами, тогда вседействий можно выполнитьспособами.

2. Комбинаторный принцип сложения (правило сложения).

Пусть некоторая задача решается любым из методов, причем первый метод можно применить способами, второйспособами, …, й способами. Тогда задача может быть решенаспособами.

Вероятность события

Определение вероятности. Количественную меру возможности появления некоторого случайного события называют вероятностью.

Определение классической (математической) вероятности. За вероятность события принимается отношение числа благоприятствующих этому событию элементарных исходов к общему числу возможных исходов:

классическое определение.

(1.4)

Определение статистической вероятности или относительной частоты события:

(1.5)

где – число опытов, проведенных по отношению к событию ; – частота наступления события в этих опытах.

Свойства вероятности

1. Вероятность невозможного события равна .

2. Вероятность достоверного события равна единице.

3. Вероятность любого случайного события :

2. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

(2.1)

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице:

(2.2)

где полная группа событий.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

(2.3)

Теорема умножения вероятностей двух зависимых событий

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже произошло:

(2.4)

Теорема умножения вероятностей двух независимых событий

Если события и независимые, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей:

(2.5)

Теорема умножения вероятностей справедлива для любого конечного числа событий, а именно:

а) для зависимых событий:

(2.6)

б) для независимых событий:

(2.7)

Теорема о сумме вероятностей двух совместных событий

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:

(2.8)

Примечание. В случае трех и более совместных событий соответствующая формула для вероятности суммы весьма громоздка и проще перейти к противоположному событию, т.е. вероятность суммы нескольких совместных событийравна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных событийЕсли при этом событиянезависимы, то

(2.9)

В частном случае, если вероятности независимых событий равны, т.е. то

(2.10)