4.2.2. Общие сведения о затратах энергии на деформирование твердых, сыпучих и вязкопластических сред (тел).

Количество энергии, необходимое для необратимого деформирования сплошных сред с целью измельчения и перемеши­вания материалов, зависит от многих факторов: прочности, раз­мера, формы и расположения частиц в массиве, а также от режима рабочего процесса. Поэтому установить аналитические зависимости между расходом энергии на эти процессы, свойствами материалов и результатами процесса можно только в общем виде.

Механическое разрушение материалов представляет собой сложный процесс, сопровождаемый различными явлениями, про­текающими одновременно. Образованию и развитию трещин в телах сопутствуют тепловые, химические, электрические явле­ния и структурные преобразования материала. Под действием внешних сил накапливается внутренняя энергия деформаций, возрастают напряжения в теле, пока в каком-либо месте вслед­ствие концентрации напряжений, вызванных местными дефектами структуры, они не превысят предел прочности. Развитие трещины сопровождается перераспределением энергии деформации, часть которой превращается в энергию вновь образованной поверх­ности, а остальная часть рассеивается в виде теплоты и других видов энергии.

Согласно современным гипотезам определения энергии, не­обходимой для измельчения материала, нельзя оценить многооб­разия происходящих явлений, хотя можно получить удовлетвори­тельные результаты для некоторых условий.

В общем случае в машинах, осуществляющих деформирование материалов, перемещения рабочих органов будут иметь место при определенных значениях напряжений, обеспечивающих деформи­рование массива и преодоление сопротивлений. Работа (Дж), совершаемая при этом,

А = Pl = qFl = qV (4.36)

где Р - внешняя сила, под действием которой перемещается рабочий орган;

l - перемещение рабочего органа; q - напряжение, необходимое для деформи­рования массива; F - площадь деформирования; V - объем материала, под­вергающегося деформированию.

Удельная работа, или энергоемкость процесса,

А₀=A/V = q (4.37)

т. е. численно равна среднему значению напряжения. Иначе, на переработку 1 м³ материала необходимо затратить работу (в джоу­лях), численно равную силе (в ньютонах), необходимой для де­формирования материала площадью 1 м². Это следует из положе­ний механики сплошных сред, согласно которым работу деформи­рования можно определить из сравнения количества энергии, которую создает нагрузка, с энергией, затраченной на то, чтобы тело получило деформации.

Следует иметь в виду, что скорость приложения нагрузки ока­зывает влияние не только на динамические силы, но и на свойства деформируемого материала. Если рассматривать бесконечно ма­лые перемещения, на которых с точностью до бесконечно малых второго порядка силу можно считать постоянной, то работа на перемещении

(4.39)

а на некотором конечном перемещении l₁

т. е. определяется площадью под кривой Р = f_* l на участке де­формирования от 0 до l₁ При деформировании упругих тел

где l – размер тела в направлении действия силы, м; Е - модуль упругости первого рода, Па,

Работа, затраченная на деформирование,

(4.39)

а удельная работа:

, (4.40)

где - предельное напряжение, обеспечивающее необратимые деформации, Па.В – относительная деформация.

Эта зависимость следует из теории Кирпичева - Кика, согласно которой работа внутренних сил (упругости) пропорциональна объему деформируемого тела, т. е.

А = kD², (4.41)

где k - коэффициент пропорциональности.

Если на измельчение поступает Q (кг) материала со средне­взвешенным размером исходного куска D_c.в B, то общее количество кусков составит , а работа измельчения

(4.42)

где - плотность куска, кг/м³.

В дробилках общая степень измельчения , (здесь- средневзвешенный размер измельченного куска) достигается за m циклов деформирования; если предположить, что в каждом цикле частные степени измельчения равны, тои общая работа, затрачиваемая на этот процесс,

(4.43)

Учитывая, что , получаем

(4.44)

Практическое использование этой формулы осложняется неопределенностью значений и.

При разрушении куска материала образуются новые поверхности, обладающие избыточной энергией, сообщенной извне. Базируясь на этом положении физики, проф. П. Риттенгер сфор­мулировал теорию, согласно которой работа (Дж), расходуемая на измельчение, пропорциональна площади вновь полученной поверхности:

А = k₁F = k₁(F₂ - F₁), (4.45)

где k₁ - коэффициент пропорциональности; F₁ — площадь первоначальной по­верхности куска, м²; F₂ — суммарная площадь поверхностей кусков после раз­рушения, м².

Примем, что куски материала до и после измельчения имеют кубическую форму с ребрами D и d соответственно. Первоначаль­ная площадь поверхности куска F₁=6D². Если произведем дробление со степенью измельчения i=D/d, то получим i³ кусков, каждый из которых имеет поверхность площадью F_i = 6d², и приращение поверхности составит:

F = 6i³d² - 6D² = 6d²D³/d³- 6D² = 6D²( i - l ). (4.46)

Если дробится материал объемом Q (м³) со средним размером кусков D_c, то количество исходных кусков равно Q/D³_c и работа, затраченная на дробление,

А = k₁6D²_C (i - 1) Q/D³_C = 6k₁Q (i - l)/D_c. (4.47)

Практически использовать эту зависимость трудно, так как сложно определить коэффициент пропорциональности k₁.

Каждая из рассмотренных теорий дробления отражает только часть сложных процессов, происходящих при измельчении.

Теория Кирпичева - Кика оценивает энергию, расходуемую на деформирование материала, и не учитывает затраты на обра­зование новых поверхностей. Очевидно, она более применима при крупном и среднем дроблении, когда влияние вновь образованных поверхностей незначительно. Теория Риттенгера не учитывает затраты энергии на упругую деформацию и связывает расход энер­гии только с конечными результатами процесса - степенью из­мельчения; она применима только при мелком дроблении и помоле материалов.

В реальном процессе измельчения горных пород деформирование дробимых кусков и образование новых поверхностей про­исходит одновременно, и многие исследователи стремились оце­нить эти явления в комплексе.

Ф. Бонд предложил гипотезу, согласно которой предпола­гается, что энергия, передаваемая телу при сжатии, распределяется сначала по его объему и, следовательно, пропорциональна D³, а с момента образования трещин концентрируется на их поверх­ностях, и тогда работа пропорциональна D². Математически обоб­щив теории Кирпичева—Кика и Риттенгера, Ф. Бонд предложил зависимость для оценки работы (Дж), необходимой для измель­чения m (кг) материала со средней крупностью D_c (м) до средней крупности d_c (и):

А=k_б(1/- 1/)m, (4.48)

где k_б — коэффициент пропорциональности,

Условностью рассматриваемых теорий является исследование процесса разрушения тел правильной формы под действием равномерно распределенных сжимающих нагрузок, чего в реаль­ных процессах нет. Поэтому применение этих теорий для расчета дробильных и помольных машин затруднено и требует введения дополнительных поправочных коэффициентов. Такие же недо­статки характерны и для других интерпретаций рассмотренных гипотез, предложенных, например, Ф. Бондом, А. М. Рундквистом.

На основе исследований, учитывающих факторы, действующие в реальных машинах, ВНИИстройдормашем для расчета мощности (кВт) двигателя дробилок предложена формула:

N_Д = 0,13Эk_м П_т(- 1)/ (4.49)

где Э — удельные затраты энергии при дроблении 1 т материала от кусков беско­нечной крупности до кусков размером 1 мм, кВтч/т (принимается по экспери­ментальным данным для конкретных материалов); k_M - коэффициент масштаб­ного фактора, оценивающий изменение Э с изменением крупности исходных кус­ков материала; П_т - производительность, м³/с; р - плотность материала, кг/м³; D_{с, в} - в м.

При рассмотрении процессов дробления, перемешивания и дру­гих, когда деформируется массив частиц со случайными харак­теристиками, целесообразнее использовать для расчетов вместо пределов прочности монолитных тел средние, действительные напряжения, обусловливающие необратимое деформирование массива.

При движении рабочих органов в слабо структурно связанных системах, например, при перемешивании бетонных и подобных им смесей, абсолютная деформация l практически равна пере­мещению l рабочего органа и относительная деформация , а удельная работа А₀=q численно равна среднему напряжению (давлению).

В то же время энергоемкость (кВтч/м3) процесса можно представить отношением:

А₀ = N/П_T. (4.50)

Техническая производительность машины будет в z раз меньше условной производительности рабочих органов, равной произ­ведению их активной площади F на скорость перемещения v, если до получения продукта требуемого качества необходимо совершить z циклов передеформирования, т. е.

П_т = Fv/z. (4.51)

Таким образом, энергоемкость (кВтч/м3) процесса можно пред­ставить в виде

А₀ = qz/(3,6 -10⁶) (4.52)