книги по релейке часть 1 / ТОЭ / Демирчян К.С. Нейман Л. Р. Теоретические основы электротехники / Теоретические основы электротехники том 2
.pdfГлава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 53
ностью, но требование, чтобы после размыкания ключа токи в обеих катушках стали равными друг другу, отсутствует, так как есть путь для тока через вторую ветвь, в которой нет индуктивности и в которой ток может меняться скачком.
Для определения производных тока i1 в этом случае проще всего поступить следующим образом. Вычитая второе уравнение (*) из первого, получим уравнение согласно второму закону Кирхгофа по контуру, охватывающему оба источ- ника ЭДС:
t
r1i1 L1 didt1 C1 0 i2 dt uC (0) r2 i2 e1 e2 . Отсюда определим L1 didt1 ïðè t 0:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
di |
|
e (0) e |
|
|
|
|
r i (0) u (0) r i |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(0) |
|
(0). |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
dt t 0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||
Продифференцировав последнее уравнение, получим |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e e r |
|
di |
L |
d 2 i |
|
|
|
i |
2 |
|
r |
|
di |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
dt |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
C |
|
2 |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
В этом уравнении в момент t 0 неизвестны |
|
d 2 i |
|
|
di |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
è |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
di |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Определим |
|
|
|
|
|
из второго контурного уравнения (*): |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
di |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
di |
|
|
|
|
|||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
(0) r [i (0) i |
|
(0)] i |
|
|
(0) r L |
|
|
1 |
|
u |
(0). |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 dt t 0 |
|
|
|
|
2 |
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 dt t 0 |
|
C |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
di |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставляя |
|
|
|
|
в предыдущее выражение, получим значение второй про- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
изводной тока i1 ïðè t 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Таким образом, для определения постоянных имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i (0) i |
(0) A A A ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
di |
|
|
di |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
A |
|
|
|
A ; |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt t 0 |
dt t 0 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 i |
|
|
d 2 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 A |
|
|
|
|
2 A |
|
|
|
2 A , |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 11 |
|
|
|
|
|
|
2 12 |
|
|
|
|
|
3 13 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где величины, стоящие слева, уже определены. Решая совместно эти три уравнения, найдем постоянные A11, A12, A13 .
Для определения тока i2, решение уравнения которого можно записать в виде
i |
2 |
i |
A |
21 |
e 1t A |
22 |
e 2t A |
23 |
e 3t , |
|
2 |
|
|
|
|
54 Часть 2. Теория линейных электрических цепей
можно произвести аналогичные расчеты, причем выражение для (d2i2/dt2)t 0 легко определить по известной (d 2i1/dt 2)t 0 и по остальным величинам, определенным выше для i1.
2. В качестве примера расчета цепи со взаимной индукцией рассмотрим расчет цепи, представленной на рис. 9.30. Уравнения для этой цепи имеют вид
i r L |
di1 |
|
M |
di2 |
u; |
M |
di1 |
|
|
r i |
|
L |
|
|
di2 |
|
0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
dt |
|
dt |
dt |
|
|
|
|
2 dt |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Обозначая d/dt D, решим систему относительно i1. Получим |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(r |
L D)(r |
L |
2 |
D)i |
M 2 D 2 i |
(r |
L |
2 |
D)u |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
èëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(L L |
2 |
M 2 )D 2 i |
(r L |
2 |
r L )Di |
|
r r i |
|
L |
2 |
Du r u. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
Учитывая, что Dni d ni/dt n, находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
M 2 ) |
d 2 i |
(r L |
|
r L ) |
|
di |
|
r r i |
r u L |
|
du |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
(L L |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
(**) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dt2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
2 1 |
|
|
dt |
|
|
1 2 1 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
dt |
|
|
|
|
||||||||||
Характеристическое уравнение имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
(L L |
2 |
M 2 2 (r L |
2 |
r L r r |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
откуда для двух его корней . è / получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1, 2 |
r L |
2 |
r L |
|
|
|
|
|
|
|
r L |
2 |
|
r L |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
r r |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
2 1 |
|
|
|
|
|
) |
|
1 |
|
|
|
2 1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
, |
|
||||||||||||||||
2L L |
|
(1 k2 ) |
|
|
2(1 k2 )L L |
|
|
L L |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
+ |
|
|
2 |
|
(1 k2 ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
принимая во внимание, что M 2 k2L1L2.
Пусть включение производится при нулевых начальных условиях под действие постоянного напряжения è U const. Тогда из уравнения (**), полагая в нем все производные и токов и напряжений равными нулю, получим ток установившегося режима i = U/r1, что непосредственно вытекает также из первого
уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, для тока i1 имеем выражение |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
i i |
i |
|
U |
A e 1t |
A e 2t . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
r1 |
11 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произвольные постоянные определим, имея в виду, что |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
i1( 0) i1( 0) 0; i2 ( 0) i2 ( 0) 0. |
|
|
|
|||||||||||||||||
Из второго уравнения для момента t 0 находим ri2(0) 0 è |
|||||||||||||||||||||||
di |
|
L |
|
di |
2 |
|
|
di |
2 |
|
|
|
M |
di |
|
||||||||
M |
1 |
|
|
|
|
|
|
èëè |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
dt t 0 |
dt |
|
t 0 |
dt t 0 |
|
L2 dt t 0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
Подставив последнее в уравнение для первого контура, найдем при t 0
|
|
M 2 |
di |
|
di |
|
|
U |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
U èëè |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|||||||||
L1 |
L |
|
|
|
|
L1(1 k |
|||||||||
|
|
2 |
dt |
t 0 |
dt |
t 0 |
|
) |
|
Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 55
Таким образом, при t 0 имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i (0) 0 |
U |
|
A A ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
di |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
A |
, |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L (1 k2 ) |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
откуда, определив A11 è A12, äëÿ i1 получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
i |
U |
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e 1t e 2t ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
( |
|
e 1t |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||
1 |
r |
|
L |
(1 k |
2 )( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Èìåÿ â âèäó, ÷òî i |
|
0, находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
2 |
|
A |
21 |
e 1t |
|
A |
22 |
|
e 2t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Начальные условия при t 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
di |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
di |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UM |
|
|
||||||||||||
|
|
|
i |
(0) 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L L |
|
(1 k2 ) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
0 |
|
|
2 |
t |
0 |
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 A21 A22 è |
|
|
|
|
UM |
|
|
|
|
|
1A21 |
|
2 A22 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
L L |
2 |
(1 k2 ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
A21 |
A22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
L L |
2 |
(1 k2 )( |
1 |
|
2 |
) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(e 1t e 2t ). |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
L L |
|
|
(1 k2 )( |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 e 2t ).
.
Зависимости i1è i2 от времени приведены на рис. 9.31. Как видно из выражения для производной тока i1, в первый момент времени ток i1 растет быстрее по срав-
нению со случаем, когда вторичный контур разомкнут или когда k 0. Поскольку производная тока i2 знакопеременна, то убыстрение процесса нарастания тока i1 происходит не все время. Спустя некоторый промежуток времени, когда производная тока i2 меняет знак, наличие вторичного контура, наоборот, приводит к замед-
лению роста тока i1 в последующие моменты времени. Ðèñ. 9.31 Для сравнения на рис. 9.31 штриховой линией показана
зависимость i1(t) при отсутствии магнитной связи.
9.13. Расчет переходных процессов методом переменных состояния
Приведенные в предыдущем параграфе примеры показывают, что формирование и решение уравнений, описывающих переходные процессы, даже для сравнительно простых цепей оказываются весьма трудоемкими. В связи с этим боль-
56 Часть 2. Теория линейных электрических цепей
шое значение имеет разработка компьютерных методов решения этих задач. В настоящем параграфе будет рассмотрен метод переменных состояния, который исторически явился первым методом, позволившим алгоритмизировать формирование уравнений для электрических цепей достаточно общего вида.
Понятие переменных состояния было введено в § 9.3. Энергия магнитного поля Wì катушки с индуктивностью L может быть выражена через ток iL катушки или ее потокосцепление <:
|
|
|
< 2 |
|
Li |
2 |
|
W |
|
|
L |
. |
|||
ì |
2L |
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Энергия электрического поля Wý конденсатора с емкостью C аналогичным образом может быть выражена через напряжение uC на обкладках конденсатора или его заряд q:
q2 Cu2
Wý 2C 2C .
Таким образом, энергетическое состояние электрической цепи может быть однозначно определено указанием значений потокосцеплений или токов всех катушек индуктивности и зарядов или напряжений всех конденсаторов. Для определенности, будем использовать далее в качестве переменных состояния токи катушек индуктивностей iL и напряжения конденсаторов uC.
Метод переменных состояния позволяет формировать систему дифференциальных уравнений относительно переменных состояния x1, x2, ..., xn в так называемой нормальной форме:
|
dx1 |
|
a x |
a x |
|
|
a |
x |
|
f |
(t); |
||||
|
|
2 |
n |
||||||||||||
|
dt |
11 |
1 |
12 |
|
1n |
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
a x |
a x |
|
a x |
|
f |
(t); |
|||||||
|
|
2 |
n |
||||||||||||
|
dt |
21 |
1 |
22 |
|
|
2n |
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
dxn |
a |
x |
a |
x |
|
a x |
|
f |
(t), |
|||||
|
|
2 |
n |
||||||||||||
|
dt |
|
n1 |
1 |
n2 |
|
|
nn |
|
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå aij (i, j 1, 2, …, n) — элементы квадратной матрицы, определяемой топологией анализируемой цепи и параметрами ее элементов, fi (i 1, 2, …, n) — элементы вектора, также определяемые топологией цепи и параметрами действующих в ней источников электромагнитной энергии.
Чтобы каждое уравнение, написанное согласно первому и второму законам Кирхгофа, было дифференциальным уравнением первого порядка относительно iL è uC, каждый контур и сечение должны содержать только один реактивный элемент.
При составлении уравнений согласно первому закону Кирхгофа в графе цепи следует выделить ветвь дерева, через которую проходит сечение. При этом поверхность, которая разделяет цепь на две части, пересечет некоторое число связей (õîðä) и только одну ветвь дерева.
Уравнение баланса токов для такого r-го сечения является дифференциальным уравнением первого порядка относительно одной переменой, если j-я ветвь
Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 57
дерева содержит конденсатор. В такой ветви ток связан с напряжением конденсатора следующим образом:
iCj Ñj dudtCj .
Такое r-е уравнение в матричной форме записи Di 0 системы уравнений первого закона Кирхгофа можно представить в виде
d C |
|
duCj |
d |
|
i , |
|
|
|
|
l |
|
|
|
rj |
j |
|
|
rk |
k |
|
dt |
k 1 |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
k j |
|
|
ãäå l — число ветвей цепи; dr1, dr2, …, drl — элементы r-й строки матрицы сечений D. Уравнение баланса напряжений в s-м контуре является дифференциальным уравнением первого порядка относительно одной переменной, если связь (хорда), образующая контур, содержит катушку индуктивности. В такой p-й ветви
uLp L didtLp .
Тогда s-е уравнение в матричной записи Cu 0 системы уравнений второго закона Кирхгофа можно записать так:
c L |
|
dip |
c |
|
u , |
|
|
|
|
l |
|
|
|
sp |
p |
|
|
sk |
k |
|
dt |
k 1 |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
k p |
|
|
ãäå cs1, cs2, …, csl — элементы s-й строки матрицы контуров C.
Таким образом, чтобы составить систему уравнений в нормальной форме, следует в качестве переменных брать напряжения конденсаторов, относя ветви, содержащие эти элементы, к ветвям дерева, а также токи катушек индуктивности, относя ветви, содержащие эти элементы, к связям.
Матрично-топологический метод составления системы уравнений для расче- та установившихся режимов, как правило, связан с введением понятия обобщенной ветви, содержащей наряду с пассивными элементами в ветви (r, L, C) также источник ЭДС, последовательно соединенный с пассивной частью ветви, и источник тока, включенный параллельно ветви с ЭДС. Введение этого понятия при возможности эквивалентных преобразований источников ЭДС в источники тока и наоборот позволяет составить наиболее экономные (в смысле числа неизвестных) системы уравнений. Сокращение числа узлов и ветвей в таком случае упрощает и описание цепи.
При составлении уравнений состояния введение обобщенных ветвей осложняет последующие преобразования. Поэтому целесообразно за счет выделения каждого элемента электрической цепи в отдельную ветвь упростить составление системы дифференциальных уравнений. Если каждый элемент электрической цепи выделяется в качестве ветви, то отнесение ветвей к дереву или к связям следует производить с учетом следующего. К ветвям дерева должны быть последовательно отнесены сначала ветви с источниками ЭДС, затем ветви с конденсаторами. Если такое дерево не связывает все узлы, то должны быть добавлены
58 Часть 2. Теория линейных электрических цепей
ветви с резисторами и только в последнюю очередь ветви с катушками индуктивности. Дерево, составленное согласно этому правилу, называют нормальным. Соответственно в качестве связей (хорд) сначала должны быть выделены источники тока, затем индуктивные элементы и резистивные ветви и в последнюю очередь ветви с конденсаторами. Подграф, составленный согласно этому правилу, называют нормальным подграфом связей (õîðä). Граф электриче- ской цепи, содержащий нормальное дерево и нормальный подграф связей, счи- тают нормальным èëè правильным.
Согласно условиям составления нормального дерева и дополнения его до полного графа, токи и напряжения электрической цепи можно записать в виде
|
i= |
|
t |
|
|
|
i ät i ct |
|
|
|
t , |
|||||||||
|
i Et ä iÑt ä i Rt ä i Lt ä i =t c i Lt c iGt c iCt c |
|
|
|
|
|||||||||||||||
u= |
|
t |
|
|
|
u ät u ct |
|
|
|
t , |
||||||||||
u Et ä uÑt ä u Rt ä u Lt ä u =t c u Lt c uGt c uCt c |
|
|
|
|
ãäå iEä, uEä — токи и напряжения ветвей дерева с источниками ЭДС; iCä, uCä — токи и напряжения конденсаторов, входящих в состав ветвей дерева; iRä, uRä — токи и напряжения резисторов, составляющих ветви дерева; iLä, uLä — токи и напряжения катушек индуктивностей, входящих в ветви дерева, i ñ, u c — токи и напряжения источников тока, отнесенных к подграфу связей; iLñ, uLc — токи и напряжения катушек индуктивностей, включенных в подграф связей, iRñ, uRc — токи и напряжения резисторов, входящих в подграф связей; iCñ, uCc — токи и напряжения конденсаторов, входящих в подграф связей.
Возможны случаи, когда в электрической цепи имеются контуры, состоящие только из конденсаторов и (или) источников ЭДС, или сечения, содержащие только катушки индуктивности и (или) источники тока. Задачи расчета таких цепей рассмотрены в § 9.11.
В соответствии с таким разбиением ветвей можно выделить четыре подмат- рицы-строки в матрице контуров C, соответствующие: 1) ветвям-связям, содержащим источники тока; 2) ветвям-связям, содержащим катушки индуктивности; 3) ветвям-связям, содержащим резистивные элементы; 4) ветвям-связям, содержащим конденсаторы. Следовательно,
|
|
|
|
|
|
E ä |
Cä |
rä |
Lä |
= c Lc gc Cc |
|||
|
= c |
|
|
|
F=E F=C F=R F=L 1 0 |
0 |
0 |
||||||
|
|
|
|||||||||||
Ñ |
Lc |
|
|
|
FLE |
FLC |
FLR |
FLL |
0 |
1 0 |
0 |
||
g |
c |
|
|
|
F |
F |
F |
0 |
0 |
0 |
1 0 |
||
|
|
|
|
|
GE |
GC |
GR |
|
|
|
|
|
|
|
Cc |
|
|
|
FCE FCC |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
По приоритету отнесения конденсаторов к подграфу связей в контур, образованный звеном (конденсатором), не могут войти резистивная и индуктивная ветви дерева, т. е. равны нулю подматрицы FCR è FCL. Действительно, емкостная ветвь может быть отнесена к категории связей, если она образует контур, содержащий источник ЭДС и конденсаторы. Если некоторый узел соединен с другими узлами индуктивными элементами, то ветвь с одной из них должна войти
Глава 9. Расчет переходных процессов классическим методом 59
в состав дерева. Тогда ветвь Lä может войти в сечения, образованные Lc-связями. Таким образом, в сечения, образованные из gc резистивных ветвей-связей, ветви дерева Lä не входят. Следовательно, равен нулю и элемент FGL.
В соответствии с известными соотношениями D |
1 F t |
|
, C |
|
|
|
F 1 |
|
|
|
законы |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Кирхгофа можно записать следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
E ä Ñä rä Lä |
= c |
|
|
Lc |
gc |
|
Cc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
E ä |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– F t |
– F t |
– F t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 0 0 0 – F=t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
LE |
GE |
|
|
CE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Di |
Cä |
0 1 0 0 – F=t |
|
– F t |
– F t |
– F t |
i 0; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
LC |
GC |
|
|
CC |
||||||||||||||||
|
Rä |
0 0 1 0 – F=t |
|
– F t |
– F t |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
LR |
GR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Lä |
0 0 0 1 – F=t L |
|
– FLLt |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 F t |
|
|
|
|
i ä |
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i ñ |
|
= c Lc Gc Cc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
E ä |
Cä |
rä |
|
Lä |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= c |
|
|
|
F=E F=C F=R F=L 1 0 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Lc |
|
|
|
FLE |
FLC |
FLR |
|
FLL 0 1 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Cu g |
c |
|
|
|
F |
F |
F |
0 0 0 1 0 |
|
u |
0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
GE |
GC |
|
GR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Cc |
|
|
|
FCE FCC |
0 |
|
|
|
|
0 0 0 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F 1 |
|
|
|
|
|
u ä |
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u ñ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå 1 — единичные матрицы, размерности которых определяются числом строк в подматрицах Fij; Eä, Cä — номера ветвей, входящих в дерево и содержащих источники ЭДС, конденсаторы и т. д.; ñ, Lc — номера ветвей, входящих в подграф связей и содержащих источники тока, индуктивные элементы и др. Ранжирование ветвей и их нумерация подчинены правилам составления нормальных дерева и подграфа связей. При составлении нормального графа электрической цепи матрицу соединений A также следует упорядочить, расположив ветви таким образом, чтобы сначала были перечислены ветви нормального дерева, а затем уже и нормального подграфа связей: A Aä Ac . Для нормального графа справедливо равенство
Ai 0, |
|
Aä Ac |
|
|
i ä |
0, |
|
|
|||||
|
|
|
i c |
|||
|
|
|
|
|
|
ãäå A — матрица соединений размерности (q – 1) l (q — число узлов, l — число ветвей); i — вектор-столбец токов (включая ветви с источниками тока) размерностью l. Из соотношений Aäiä —Añic, iä Ft iñ следует, что F t A–1ä Ac . Таким
образом, составление с помощью компьютера матриц C è D можно произвести
60 Часть 2. Теория линейных электрических цепей
на основании матрицы соединений A, которая вводится в компьютер в качестве части исходных данных, представляющих описание топологии электрической цепи.
Рассмотрим формирование уравнений состояния для электрической цепи, представленной на рис. 9.32. Параметры цепи в системе СИ сведем в табл. 9.1. Эта таблица может быть заполнена в любой последовательности, по мере введения топологического описания в компьютер.
Ðèñ. 9.32
Таблица 9.1
Элемент |
¹ ветви |
Начальный узел |
Конечный узел |
Значения параметров |
|
|
|
|
|
r |
1 |
1 |
0 |
10–13 |
g |
2 |
4 |
5 |
1,5 10–2 |
L |
3 |
4 |
3 |
5 10–4 |
L |
4 |
2 |
3 |
7 10–5 |
C |
5 |
1 |
2 |
1,1 10–13 |
C |
6 |
4 |
2 |
2,1 10–13 |
C |
7 |
1 |
4 |
10–13 |
L |
8 |
5 |
3 |
10–5 |
|
9 |
1 |
5 |
10–1 |
E |
10 |
0 |
5 |
1,2 |
|
|
|
|
|
В дальнейшем она может быть перестроена в соответствии с правилами составления нормального графа электрической цепи. Перестроенная табл. 9.2 и служит основой для составления матриц A, C è D и расчета матрицы F. Используя табл. 9.2, можно составить следующие матрицы:
|
|
|
|
|
|
Глава 9. |
Расчет переходных процессов классическим методом 61 |
||||||||||||||||||
Таблица 9.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Элемент |
|
|
¹ ветви |
Начальный узел |
|
Конечный узел |
Значения параметров |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
10 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1,1 10–13 |
|||
C |
|
|
|
6 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2,1 10–13 |
|||
r |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
10–13 |
|
|
|
L |
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
7 10–5 |
|
|
|
= |
|
|
|
9 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
10–1 |
|
|
|
L |
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
5 10–4 |
|
|
|
L |
|
|
|
8 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
10–5 |
|
|
|
g |
|
|
|
2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
1,5 10–2 |
|||
C |
|
|
|
7 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
10–13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ветви |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Óçëû |
10 |
5 |
6 |
1 |
4 |
9 |
3 |
|
8 |
2 |
7 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
0 1 1 0 1 |
0 0 0 0 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
0 0 0 0 1 |
|
|
0 1 1 0 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
A 4 |
0 0 |
1 0 0 |
|
0 |
1 0 |
1 1 |
; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
5 |
1 0 0 0 0 |
|
|
1 0 1 1 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Aä |
|
|
|
|
|
|
|
|
Añ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
3 |
|
8 |
2 |
7 |
|
|
|
|
0 0 0 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
1 0 1 1 0 |
|
||||||||||
|
|
|
0 1 1 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0 0 1 1 1 |
|
|||||||||
1 |
|
|
0 0 0 |
1 0 |
|
; |
F t |
A 1 |
A |
c |
|
6 |
0 |
1 0 |
|
|
|||||||||
Aä |
|
|
|
|
|
|
ä |
|
|
1 1 |
; |
||||||||||||||
|
|
|
1 1 1 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 0 1 1 0 |
|
|||||||||
|
|
|
0 0 1 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 1 1 0 0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
5 |
6 |
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
1 |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
F 8 |
|
1 1 0 |
1 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
7 |
|
0 |
|
1 |
1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62 Часть 2. Теория линейных электрических цепей
Из матрицы F следует, что
Приведенное описание электрической цепи в виде, удобном для ввода в компьютер, не является единственным. Так, табл. 9.1 содержит информацию лишь о характере элементов, числе ветвей, условно-положительных направлениях токов и напряжений (с помощью введения в таблицу понятий начального и конеч- ного узлов), значениях параметров и позволяет описать электрические цепи, состоящие только из двухполюсников. Описание электрических цепей, содержащих многополюсные элементы, следует выполнить иным способом — путем введения дополнительных столбцов, характеризующих число полюсов и номеров узлов, к которым они присоединены, и ссылки на дополнительные списки параметров, описывающие эти многополюсники или их эквивалентные электри- ческие схемы.
Переход от табл. 9.1 к табл. 9.2 производят с помощью последовательного перебора элементов. Сначала в табл. 9.1 выделяется строка с ветвью, содержащей ЭДС, в качестве первой строки табл. 9.2. После обработки ветвей с ЭДС в табл. 9.1 выбирают строки с емкостными элементами. При выделении каждой строки в табл. 9.1 проверяется соблюдение условия, при котором новый элемент не образует контур с уже помещенными в табл. 9.2 элементами. Для этого достаточно, чтобы хотя бы один из узлов нового элемента не содержался в списке узлов, перечисленных ранее. Если это условие не выполняется, то данный элемент записывается в конце табл. 9.2. Добавление ветвей с элементами C, r è L производят до тех пор, пока в список узлов не войдут все узлы электрической цепи. Если соблюдено правило проверки отсутствия контуров, то полная комплектация списка узлов свидетельствует о том, что список ветвей, образующих нормальное дерево (рис. 9.32, á), в табл. 9.2 заполнен. После этого формируется подграф связей, содержащий источники тока, индуктивные катушки, резисторы и уже записанные в конце табл. 9.2 конденсаторы.
Составление матрицы A на основе табл. 9.2 не составляет трудностей. Достаточно нумеровать строки матрицы A по номерам узлов, а столбцы — согласно номерам ветвей в табл. 9.2. Начальный узел в табл. 9.2 для данной ветви опреде-