Студентам НДб-14 Физика Ч.1 / LAB12

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1-2

ИЗУЧЕНИЕ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение основного уравнения динамики вращательного движения.

ПОСТАНОВКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

Маятник Обербека представляет собой стальную крестовину (рис.1), состоящую из четырех стержней, прикрепленных к валу, на тот же вал насажены два шкива разных диаметров D₁ и D₂ и малой массы. На шкивы наматывается нить, к другому концу которой подвешиваются грузы Г массой m. По стержням могут перемещаться и закрепляться грузы одинаковой массы m_Г. Рассмотрим маятник Обербека, вращающийся относительно неподвижной горизонтальной оси, проходящей через центр масс (рис.2). На шкив диаметром D намотана нить, к свободному концу которой подвешен груз Г массой m, падающий с высоты h₁ за время t. Вращательной движение маятника вызывается моментом силы натяжения Т нити.

Груз Г совершает поступательное равноускоренное движение. Найдем момент силы натяжения нити М_Н, угловое ускорение  маятника и момент инерции J его относительно оси.

Из рис.2 следует

(1)

Силу натяжения Т нити определим из уравнения поступательного движения груза Г. На груз действует сила тяжести mg и сила натяжения T нити, равнодействующая которых сообщает грузу ускорение a.

По второму закону Ньютона:

В проекциях на ось X:

Отсюда

(2)

Подставляем (2) в (1):

Ускорение a можно получить из уравнения пути равноускоренного движения груза с нулевой начальной скоростью:

, (3)

тогда при условии, что ускорение а  g

(4)

В предположении, что нить сматывается со шкива без проскальзывания, ускорение a равно тангенциальному (касательному) ускорению a_ точек поверхности диска (цилиндра):

а = a_ =  r =

Отсюда с учетом (3)

(5)

На маятник кроме момента силы натяжения нити действует также момент сил трения М_ТР. Поэтому вращающий момент следует рассматривать как результирующий момент

или, переходя к проекциям на ось вращения

М = М_Н - М_ТР (6)

Момент сил трения можно определить исходя из закона сохранения энергии. Когда груз был неподвижен и находился на высоте , то система маятник-груз обладала потенциальной энергией mgh₁. После опускания груза до пола маятник, вращаясь по инерции, поднимает груз на высоту h₂ вся система на мгновение остановится. Потенциальная энергия её будет при этом равна mgh₂. Убыль потенциальной энергии системы равна работе по преодолению момента сил трения:

mgh₁ – mgh₂ = М_ТР  (7)

Здесь М_ТР - среднее значение момента сил трения;  - угол поворота маятника за время падения и подъема груза, выраженный в радианах.

Обозначив числа оборотов маятника за время падения и подъема груза через N₁ и N₂, найдем

 = 2N₁ + 2N₂ (8)

Нить привязана так, что при касании груза о пол она полностью смотана со шкива, а при дальнейшем движении маятника нить начнет наматываться на тот же шкив. Тогда

, , (9)

Из соотношений (7) - (9) получим

(10)

Подставляя М_ТР из (10) в (6) имеем

(11)

Пользуясь основным законом динамики вращательного движения и соотношениями (5) и (11) можно определить момент инерции вращательного тела. Такой метод определения момента инерции называется динамическим.

Момент инерции тела можно определить и статическим методом — по геометрическим размерам и массе тела (частей тела).

Получение разных значений момента инерции маятника производится путем перемещения четырех грузов массой m_Г на стержнях на одинаковые расстояния на оси вращения.

Момент инерции маятника относительно оси вращения равен сумме моментов инерции J_Г четырех грузов и четырех стержней J_С относительно той же оси (моментом инерции шкивов пренебрегаем):

(12)

где R - расстояние от оси вращения до центра масс груза на стержне, равно (рис.1):

, (13)

m_c - масса и L - длина стержня.

Итак, из формул (7) и (8) получаем формулу для момента инерции маятника Обербека:

(14)

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Упражнение 1. Изучение зависимости  = f(M) при J = const.

Постоянство момента инерции обеспечивается неизменным положением грузиков на крестовине маятника. Изменение вращающего момента достигается подвешиванием через блок различных грузов.

1.Измерить штангенциркулем диаметр D одного из шкивов. Измерения провести у одного и другого краев шкива во взаимоперпендикулярных направлениях. Результаты измерений диаметра D, высоты h₁, с которой опускаются грузы, массы этих грузов m₁, m₂, m₃ и m₄ занести в таблицу 1.

2.Установить грузы на стержнях в крайних положениях, проверить безразличность равновесия маятника.

3.Подвесив груз m₁ к нити, намотанной на шкив, с диаметром D, с помощью электрического секундомера измерить четыре раза время t₁ опускания этого груза с высоты h₁ и высоту подъема h₂.

4.Выполнить пункт (3) со вторым (m₂), третьим (m₃) и четвертым (m₄) грузами.

5.По формулам (11) и (5) вычислить значения моментов сил М и угловых ускорений . (Их расчет представить в отсчете).

6.Результаты прямых и косвенных измерений занести в таблицу 1.

Таблица 1

h1 =
№ п/п	D =	m1 =		m2 =		m3 =		m4 =
		t1	h2	t2	h2	t3	h2	t4	h2
1
2
3
4
Средние значения		1 = M1 =		2 = M2 =		3 = M3 =		4 = M4 =

6.Построить график зависимости углового ускорения от момента силы  = f(M) при постоянном моменте инерции. Сделать вывод.

7.Убедиться в справедливости соотношения ~M, определить по графику J_дин, как отношение максимального M к максимальному .

Упражнение 2. Изучение зависимости  = f(1/J) при M = const.

Постоянство М обеспечивается неизменной величиной падающего m₃ груза. Изменение J достигается перемещением грузиков по крестовине маятника.

1.Использовать результаты измерений и вычислений ₃, J_теор. выполненных согласно п.п. 2-3 в предыдущем упражнении. Вычислить по формуле (14) момент инерции маятника Обербека. Все результаты измерений и вычислений занести в таблицу 2.

2.Переместить грузы (m_Г) с концов стержней крестовины маятника Обербека на их же середины и проверить безразличность равновесия маятника. Определить значение L₁ (рис.1).

3.Провести измерения времени опускания с высоты h₁ того же груза (m₃) на нити, намотанной на тот же шкив (D). Измерения выполнить 4 раза. Вычислить значения углового ускорения  и момента инерции J по формулам (5) и (14).

4.Выполнить п.п. 3,4 еще для двух положений грузов (m_Г) на стержнях (на расстоянии 1/3, 1/4 от оси, например). Результаты измерений и вычислений занести в таблицу 2. (В отчете привести расчеты  и М).

Таблица 2

№	L1 =	L1 =	L1 =	L1 =	m3 = mc = mr = L0 = L =
	t1	t2	t3	t4
1
2
3
4
Средние значения	t1 = 1 = J1 =	t2 = 2 = J2 =	t3 = 3 = J3 =	t4 = 4 = J4 =

5.Построить график зависимости углового ускорения от момента инерции маятника при постоянном моменте силы. Сделать вывод. График строить в координатах  = f(1/J) на миллиметровой бумаге.

Контрольные вопросы

1.Дать определения абсолютно твердого тела, вращательного движения, угловой скорости, углового ускорения.

2.Дать определение момента силы относительно оси вращения. Как направлен момент силы?

3.Что называется моментом инерции материальной точки, твердого тела? Какова единица измерения момента инерции в СИ?

4.Как формулируется теорема Штейнера?

5.Записать основное уравнение динамики вращательного. Какой вид имеют графические зависимости углового ускорения от момента инерции при постоянных моментах инерции и момента силы соответственно?

6.Вывести формулу для момента инерции однородного диска относительно оси, проходящей через центр диска.

Литература

1.Савельев И.В., Курс общей физики, т.1, М.,1982.

2.Яворский Б.И. Курс физики, М., 1972.

6