2.7. Импеданс и фазовые соотношения между скоростью и вынуждающей

силой. Резонанс скорости

Дифференцируя смещение (13) по времени, получим выражение для скорости:

= X= X, (14)

где V == X – амплитуда скорости. Из сравнения (12) и (14) следует:

скоростьv_x(t) = X и вынуждающая сила F_x(t) = F₀ cost сдвинуты по фазе на угол . Фаза  может принимать значения от () до (+) радиан (от90⁰ до +90⁰). При условии фаза = 0. В этом случае частота вынуждающей силы  равна собственной частоте ₀, и между скоростью и вынуждающей силы отсутствует сдвиг фаз, а механический импеданс приобретает минимальное значение и равен только ее активной части:

 = =  (см. также рис. 14). На рисунке 18 приведен график зависимости разности фаз между скоростью и вынуждающей силой. Так как механический импеданс  минимален при условии, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой , то в этом случае амплитудное значение скорости приобретает максимальное значение из всех возможных, т.е. наблюдается резонанс скорости. Амплитудное значение скорости V = (см. уравнение14). Резонансное значение амплитуды скорости наступает при ,т.е. при условии m = k/ (т.к.=k/m):

V_р. = = = . (15)

Нарис.19 приведен график зависимости амплитуды скорости V от частоты вынуждающей силы  – график функции V() = = .

Обратите внимание, максимальное поглощение энергии осциллятором – резонансное поглощение энергии – происходит при резонансе скорости (сравни кривую «2» на рис. 17-б и график на рис. 19), т.е. при частоте  = ₀ = .

Из выражения для амплитуды скорости следует феноменологический смысл механического импеданса ( = ): механический импеданс - это сила, которая необходима для сообщения колебательной системе единичной амплитудной скорости. Заметим, формула V = = аналогично закону Ома для переменного тока:

I₀ ==,

где I₀ и U₀ – амплитудные значения тока и напряжения, Z = импеданс электрической цепи.

Всегда полезно то или иное следствие теории представлять в разных формах. Подставим в исходное дифференциальное уравнение уравнения ускоренияa_x(t)  , скоростиv_x(t) и смещения смещениеx(t):

²Xcos (t   +  ) + 2X+ Хcos (t  ) = . (16)

На векторной диаграмме членХcos (t  ) направим по лучу отсчета (рис. 20). Этому члену на диаграмме соответствует вектор, модуль которого равен Х. Тогда векторная диаграмма члена 2X будет повернута против часовой стрелки на радиан. Этому члену на диаграмме соответствует вектор, модуль которого равен 2X. Векторная диаграмма члена ²Xcos (t   +  ) будет повернута на  радиан. Этому члену соответствует вектор, модуль которого равен (²X). Модуль результирующего вектора, в соответствии с (16), равен и повернут относительно вектора смещения на угол. В зависимости от соотношений между ²X и Х угол  может принимать значения от 0 до  (рис. 20 - а, б). Из диаграммы следует выражение для разности фаз :

tg  = . (16*)

2.9. Добротность осциллятора (физический смысл)

Выражение для добротности колебательной системы (осциллятора) нами приведено в § 2.3: Q = =  N_e. Добротность Q выражена как число пропорциональное числу колебаний N_e, которые совершает осциллятор в отсутствии внешней вынуждающей силы за время затухания колебаний  ( = =секунд). Напомним, время затухания (время релаксации) – время, за которое амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раз. Остановимся на физическом смысле добротности.

Первоначальная энергия, содержащаяся в осцилляторе, затрачивается на работу против сил сопротивления, что и приводит к затуханию колебаний в отсутствии внешней вынуждающей силы. В этой связи добротность Q можно трактовать как характеристику уменьшения энергии осциллятора за время релаксации при затухающих колебаниях.

При затухающих колебаниях x(t) = Ae ^{ t} cos (^/t + ) амплитуда уменьшается по закону Ae ^{ t} = A , где:A – начальная амплитуда осциллятора,  - начальная фаза, ^/ = = - частота затухающих колебаний.Энергия осциллятора E пропорциональна квадрату амплитуды A²:

E = E₀. (20)

Из (20) видно, что за время t = = секунд энергия осциллятора становится равной, т.е. уменьшается вe ≈ 2,7 раз. За время t = = осциллятор совершит колебаний, и фаза изменится на величину^/t = ^/ радиан. Добротность определяется как число радиан, на которое изменяется фаза затухающих колебаний при уменьшении энергии осциллятора в e ≈ 2,7 раз: Q = .

В обычных колебательных системах коэффициент затухания много меньше собственной частоты системы ₀ >> , поэтому можно приблизительно считать, что

^/ ≈ ₀ = .

В этом приближении добротность примет вид:

Q = или (21)

Q ==.(22)

где  - время затухания колебаний (время релаксации), за которое осциллятор успевает совершить N_e ( = =). Добротность является одной из важных собственных характеристик колебательной системы.

Покажем, что из (21) следует формула: Q =  N_e. Если в некоторый момент времени смещение принимает, например, амплитудное значение, то при изменении фазы затухающего колебания на 2 радиан, смещение опять принимает амплитудное значение. Отношение =, но₀ = 2T, = 2 = , поэтому=. За время затухания осциллятор успевает совершит N_e колебаний: N_e =, где T - период колебаний (N_e равно числу колебаний, через которое амплитуда уменьшается в e ≈ 2,7 раз). Итак, имеем:

=илиQ =  N_e.