4.1.2.Теплоемкость электронного газа в металле

Расчеты показывают, что доля электронов, получающих тепловое возбуждение при комнатной температуре, составляет меньше 1% от общего числа свободных электронов (электронов проводимости). Этот результат объясняет один парадокс, связанный с теплоемкостью металлов. Классическая термодинамика утверждает, что тепловая энергия равномерно распределяется между всеми частицами (по kT/2 на каждую степень свободы – см. Ч.1,Б-п.5.3). Т.к. в металлах на каждый ион приходится свободный электрон, то число частиц в металлах вдвое больше, чем число атомов. Это должно было бы существенно увеличить теплоемкость металлов. Но измерения показывают, что теплоемкость металла почти такая же, как если бы электронный газ вообще отсутствовал.

Т.к. согласно квантовым представлениям в тепловом движении участвует лишь ничтожная часть электронов (вблизи уровня Ферми), то и тепловая энергия, которую они берут на себя, ничтожно мала. А остальные электроны практически «не греются».

4.3.Квантовые представления об электропроводности металлов

Классическая теория электропроводности (см.Ч.II,В-п.3.2.2) сразу же после своего возникновения столкнулась с рядом трудностей. Напомним, что теория электропроводности Друде-Лоренца привела к зависимостям

и ,

представляющим дифференциальную форму законов Ома и Джоуля-Ленца, полученных экспериментально. Молекулярно-кинетическая теория позволила получить выражение для проводимости металла (см. Ч.II,В-(71)):

(60)

через микропараметры – массу (m) и заряд (е) электрона, концентрацию электронов в металле (n₀), а также средние значения скорости теплового движения (<v>) и длины свободного пробега электронов (<>).

Согласно этой зависимости проводимость металлов с ростом температуры Тдолжна была убывать обратно пропорционально(из соотношения, что противоречит эксперименту (вспомним известную из школы формулуR=R₀(1+t)). Согласно классическим представлениям средняя длина свободного пробега электронов <> должна быть порядка расстояния между ионами. В эксперименте получаются значения<>на два порядка большие.

Квантовая теория дает для электропроводности металлов зависимость, очень похожую на классическую:

. (61)

Однако смысл величин, стоящих в угловых скобках, совершенно другой. Вместо средней скорости теплового движения здесь стоит скорость электронов <v_ф>на уровне Ферми, так как в тепловом движении участвуют лишь эти электроны (см. предыдущий пункт), а эта скорость (как и энергия ФермиW_ф=) от темпе-ратуры практически не зависит.

Длина свободного пробега электрона-волны определяется вовсе не столкновениями с ионами. Из теории волновых процессов известно, что волны взаимодействуют (обмениваются энергией – отражаются, преломляются и пр.) лишь с объектами, размер которых соизмерим или превышает длину волны. Ионы кристаллов намного меньше дебройлевской длины волны электронов на уровне Ферми_ф. Поэтому электронные волны должны проходить сквозь кристалл, «не замечая» ионов (). Так было бы, если бы все ионы были неподвижными, а кристаллическая решетка металлов была идеальной. В действительности ионы участвуют в тепловом движении, что приводит к местным сгущениям-разрежениям (флуктуациямплотности), размер которых намногобольшедлины волны электронов. На этих флуктуациях, а также на всевозможных примесях и нерегулярностях кристаллической решетки и происходит рассеивание электронов. Но при этом длина свободного пробега в зависимости (61) оказывается намного больше длины пробега электронов в классической зависимости (60).

На рис.50 приведена экспериментальная зависимость удельного сопротивления металла  от температуры. В области высоких температур оно растет прямо пропорционально температуре, что согласуется с классическими представлениями. С приближением температуры к абсолютному нулю зависимость(Т) становится нелинейной. Расчеты показывают, что при очень низких температурах длина свободного пробега электронов обратно пропорциональнапятойстепени температуры. Удельное сопротивление металла стремится к некоторому пределу_ост., который обусловлен квантовой природой электронов и определяется примесями и нерегулярностями кристаллической решетки.