4.Квантовые представления об электронном «газе» в металлах

В ч.II,В-п.3.2.2 мы рассматривали электроны металла как своеобразный электронный газ, подчиняющийся закономерностям классической термодинамики. С квантовой точки зрения металл представляет для электронов потенциальный «ящик», высота «стенок» которого равна работе выхода электрона. Как мы видели (см. п.1.3.1), электроны в таком «ящике» могут иметь лишь дискретные значения энергии. Это придает электронному «газу» необычные свойства, отличающие его от классического газа. Такойквантовыйгаз называетсявырожденным. Как и другие квантовые явления, вырождение газа проявляется при низких температурах, когда энергия теплового движения становится соизмеримой с интервалами между уровнями энергетического спектра частиц. Для квантовых «газов» существует некоторая критическаятемпература вырожденияТ_в , ниже которой газ вырожден. Например, электронный «газ» в металле имеет температуру вырожденияТ_в210⁴К, при которой все металлы уже находятся в жидком или газообразном состоянии. Поэтому электронный газ втвердомметалле практически всегда вырожден. Вырожденным является и фотонный «газ», температура вырождения которогоТ_в=.А вот электронный газ в полупроводниках практически всегда невырожденный, т.к. его температура вырождения близка к абсолютному нулю.

4.1.Распределение электронов в металле по энергиям

Электроны – это ферми-частицы, подчиняющиеся запрету Паули. На каждом из разрешенных энергетических уровней в металле может находиться лишь два электрона с противоположными спинами (рис.47). При температуре, близкой к абсолютному нулю, электроны попарно занимают все нижние уровни. Самый верхний уровень, заполненный электронами при Т=0, и представляет собой уровень химического потенциала  . Этот энергетический уровень называютуровнем Ферми.

Распределение электронов по энергиям определяется зависимостью Ферми-Дирака (58):

.

При абсолютном нуле температур все электроны в металле имеют энергии W_i <  ,показатель экспоненты в знаменателе равен-и вся функцияf_ф=1. Это означает, что все энергетические уровни в металле вплоть до уровня Фермиполностью заполненыэлектронами. Уровни с энергиямиW_i>дают в знаменателе значение показателя +, и функция распределения имеет значениеf_ф=0, то есть все уровниW_i>свободны.

Это распределение приведено на рис.48. Видно, что оно соответствует физической картине, представленной на рис.47.

Зная количество энергетических уровней и концентрацию электронов в металле, можно оценить энергию Ферми. Она оказывается равной10^-18Дж, что составляет6 эВ. Такую энергию имеют электроны при температуре ~210⁴К! Это и есть температура вырожденияТ_вэлектронного «газа» в металле. (Напомним, что при комнатных температурахkT0,03эВ.)

Сростом температуры часть электронов с верхних уровней (вблизи уровня Ферми) получает тепловую энергию (порядкаkT) и переходит на свободные вышележащие уровни. Элек-троны на более низких уровнях остаются практи-чески все «на своих местах», т.к. энергии теплового движения недостаточно, чтобы перебросить их за уровень Ферми. Функция распределения электронов приT>0 показана на рис.49, где заштрихованные области слева и справа от уровня Ферми равны, т.к. отражают одно и то же количество электронов. Уровень Ферми оказывается заполненным лишь наполовину, а ширина зоны «размывания» составляет ~2kT. Сама энергия Ферми от температуры практически не зависит.