3.Квантовые статистики

В Iчасти «Курса…» мы познакомились со статистическим методом изучения поведения большого числа частиц. Мы установили, например, что полная беспорядочность движения молекул газа приводит к вполне определенному устойчивому распределению молекул по скоростям, хотя направление движения и скорость каждой отдельной молекулы непрерывно меняются.

Частицы в микромире, подчиняющиеся квантовым закономерностям, принципиально отличаются от классических частиц (например молекул газа) тем, что состояние каждойквантовой частицы в любой момент времени можно оценить лишь с некоторой вероятностью. Понятие траектории в квантовой механике отсутствует, а положение частицы и ее импульс не могут быть установлены точнее, чем позволяют соотношения неопределенностей. Более того, принциптождественностичастиц не дает возможность даже отличить одну частицу от другой. Поэтому для описания поведения большого числа взаимодействующих тождественных (квантовых) частиц созданаквантовая статистика, принципиально отличающаяся от статистики классической.

3.1.Фазовое пространство

Состояние классической частицы в любой момент времени определяется ее положением (радиус-вектором rс координатами x,y,zв 3^х-мерном пространстве) и импульсомp(его проекциямиp_х,p_y,p_zна координатные оси). Изменение состояния материальной частицы в процессе движения можно рассматривать как перемещение в некотором шестимерном «пространстве» с шестью осями координатX,Y,Zи Р_x, Р_y, Р_z. Такое пространство называетсяфазовым пространством(фаза – это состояние). Таким образом, состояние классической частицы задается точкой в фазовом пространстве, а ее движение происходит по некоторой «траектории» в этом пространстве.

Положение квантовой частицы и ее импульс не могут иметь одновременно точные значения, а неопределенности в оценке этих параметров задаются соотношениями неопределенностей. Так, если на двухмерной «фазовой плоскости» (рис. 46) положение частицы в данный момент времени задается интерваломх, то импульс частицы можно определить лишь с точностью не болеер_х=h/х. Таким образом, состояниеквантовойчастицы – это не точка, аячейкас «площадью»хр  h.

Для описания трехмерного движения квантовой частицы необходимо 6^ти-мерное фазовое пространство, в котором каждому состоянию частицы соответствует 6^ти-мерная ячейка с «объемом»=хyzp_xp_yp_z h³.

В объеме фазового пространства содержится, очевидно,n = /ячеек. Если имеется система взаимодействующих тождественных квантовых частиц, занимающих объемфазового пространства, то одной из задач квантовой статистики является оценка распределения частиц системы по ячейкам этого объема.

3.2.Функции распределения фермионов и бозонов

Допустим, в системе имеется n_iчастиц, энергия которых лежит в интервале отW_iдоW_i+W_i. В свою очередь, в фазовом пространстве имеетсяg_iячеек, соответствующих такой энергии. Тогда функцияназываетсяфункцией распределениячастиц в фазовом пространстве.

Напомним, что для фермионов существует принцип Паули, который запрещает двум частицам находиться в одном и том же квантовом состоянии. Это значит, что в каждой ячейке фазового пространства может быть не более одного фермиона (точнее – двух фермионов с противоположными спинами, которые в отсутствие магнитного поля имеют одну и ту же энергию). Для бозонов такого запрета нет, и они могут хоть все «собраться» в одной ячейке. Очевидно, что фермионы и бозоны должны подчиняться разным статистикам. В частности, они должны давать различные функции распределения. Действительно, показано, что система фермионов подчиняется статистике Ферми-Диракаи распределяется по ячейкам фазового пространства в соответствии с функцией распределения

, (58)

а бозоны подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и распределяются в соответствии с функцией

(

59)

.

Параметр в формулах (58) и (59) называетсяхимическим потенциалом. Физически– это та минимальная энергия, которой должна обладать частица, чтобы «влиться» в коллектив тождественных частиц, не меняя его макроскопических параметров (объема, энтропии).