2.1.3.Постулаты Бора

Чтобы сохранить очень удачную планетарную модель атома, датский ученый Нильс Бор дополнил эту модель двумя постулатами, основанными на идее Макса Планка о квантовании энергии (см. п.1.4.2.1).

1^й постулат Бора:

В атоме существуют стационарные орбиты, на которых электроны энергию не излучают.

Н.Бор не был бы выдающимся ученым, если бы ограничился лишь такой констатацией экспериментального факта. Развивая идею Планка о квантовании, Бор сформулировал правило квантования орбит:

Стационарными могут быть лишь те орбиты, для которых момент импульса электрона кратен постоянной Планка :

; (n=1,2,3,…) (34)

Здесь m_e иv– масса электрона и его скорость, аr– радиус электронной орбиты.

Забегая немного вперед, заметим, что это правило равносильно утверждению, что стационарной может быть лишь та орбита, на которой укладывается целое числоэлектронных волн Де Бройля. Действительно, дебройлевская длина волны электрона (см. (2))

, откуда .

Разделив (34) на , находим, что

(= 1, 2, 3,...).

2^й постулат Бора:

При переходе с одной орбиты (n) на другую (m) излучается один фотон с энергией .

Этот постулат Бор дополнил правилом частот:

Энергия фотона равна разности энергий электрона на разных орбитах:

, откуда. (35)

Домножим сериальную формулу для спектра атома водорода (33) на постоянную Планка:

и перепишем ее в виде

. (36)

Сравнивая эту запись с (35), можно заключить, что соотношение отражает энергию, которой обладает электрон наn-ой электронной орбите. Знак “–” означает, что энергия электрона в атоме отрицательна. Действительно, чтобы «освободить» электрон (ионизировать атом), необходимодобавитьему энергию ионизации. (Напомним, чтосвободныйэлектрон имеетнулевуюпотенциальную энергию).

2.1.4.Модель атома Бора

Таким образом, модель атома Бора была полуклассической – полуквантовой. Она не могла объяснить, почему электроны на стационарных орбитах не излучают, но уже постулировала, что энергия электронов в атоме квантуется. Вместе с тем расчеты энергии электронов в атоме водорода на основе классических соотношений давали правильные результаты, близкие к экспериментальным. Согласно Бору энергия электрона на стационарных орбитах росла (убывала по модулю) обратно пропорционально n² :

. (37)

Номер орбиты nбыл названглавным квантовым числом.

Для единственного электрона в атоме водорода уровень с n=1 – самый нижний (основной) уровень, на котором энергия электрона минимальна. На всех уровняхn1 электрон находится ввозбужденномсостоянии. С ростомnэнергия электрона растет, и приnего потенциальная энергияW0 – электрон становится свободным. Минимальная энергия, необходимая для освобождения электрона с основного уровня,

. (38)

Это и есть энергия ионизацииатома в основном состоянии.

Как изменяется радиус электронных орбит в атоме водорода с ростом главного квантового числа? Чтобы получить эту зависимость, достаточно решить совместно соотношения (32) и (34):

(39)

Исключая из обоих уравнений v_n, получаем зависимость

. (40)

При n=1 это соотношение дает радиус первой (основной) боровской орбиты . После подстановки известных значений радиус основной электронной орбиты в атоме водорода получается равнымr₁= 0,52910^-10 м, что хорошо согласуется с результатами других измерений.

Энергия электрона на n-ой орбите складывается из кинетической и потенциальной энергии

. (41)

Выражение для кинетической энергии легко получается из первого уравнения системы (39):

, (42)

а потенциальная энергия электрона на расстоянии r_n от ядра атома водорода

, (43)

где – потенциал электрического поля ядра наn-ой орбите.

Подставляя (42) и (43) в (41), находим, что полная энергия

. (44)

Отметим, что:

1)полная энергия электрона на любой орбите отрицательна, о чем уже говорилось;

2)по модулю энергия связанного электрона убывает обратно пропорционально радиусу орбиты и на бесконечности обращается в нуль (энергия свободного электрона);

3)кинетическая энергия электрона на орбите равна (по модулю) его полной энергии и вдвое меньше потенциальной энергии электрона на этой орбите:

.

Если в (44) подставить выражение (40) для радиуса орбиты, получим для полной энергии электрона на орбите соотношение

. (45)

(Напомним, что .)

Сравнивая (45) с (37), видим, что в скобках стоит выражение для постоянной Ридберга:

.

После подстановки соответствующих констант это выражение дает значение R=3,2910¹⁵с^-1, что хорошо согласуется со значением, полученным из оптических измерений.

Модель атома Бора объясняла спектр водородного атома, состоящий из нескольких серий спектральных линий. Из сериальной формулы (33) следует, что для всех линий одной серии остается постоянным число m, аn  m+1, то есть линии одной серии получаются в результате перехода электронов наодин и тот же(m-ый) уровень со всех вышележащих орбит.

На рис.37 приведена схема энергетических уровней, которая объясняет возникновение серий в спектре атома водорода.

Модель атома Бора стала крупным шагом в исследовании структуры атомов. В 1922 году Нильс Бор за разработку этой модели был удостоен Нобелевской премии. Но эта модель представляла собой странную комбинацию из классического движения электрона вокруг ядра и дискретных (квантовых) энергетических состояний атома. Поэтому она не давала ответ на многие вопросы. Она оказалась пригодной лишь для описания атомов соднимэлектроном (водородоподобныхатомов – например, ионов Не⁺¹,Li⁺²), но давала грубые ошибки при попытке применить ее для объяснения спектра излучения даже атома гелия (с двумя электронами). Требовался переход к последовательным квантово-механическим представлениям о строении атома.