1.2.Уравнение Шредингера.- функция

Таким образом, законы Ньютона оказались непригодными для описания движения микрочастиц. Потребовалась новая механика – квантовая механика, которая описывала бы движение частиц в микромире.

Прежде всего нужно было определиться, что понимать под положениемчастицы в данный момент времени. Из сказанного выше следует, что частица в данный момент времени может находиться влюбойточке пространства, авероятность обнаружить частицу в той или иной области определяется квадратом амплитуды некоторой волновой функции. Эту функцию называют-функцией. Таким образом-функция и определяет положение (точнее – состояние) частицы. Дифференциальное уравнение для нахождения этой функции получил австрийский физик-теоретик Шрёдингер в 1926 году.

Попробуем проследить за логикой, которая привела Шрёдингера к его знаменитому уравнению:

-функция – это волновоерешение. Например, движение свободной частицы вдоль осиXописывается известной волновой функцией для плоской волны:

, (6)

где ₀– амплитуда волны, – циклическая частота, аv_В – фазовая скорость движения волны, связанная с длиной волнызависимостью (– частота волны).

Де Бройль перенес на частицы основные соотношения квантовой оптики (см. раздел Д.-п.2.2), связывающие волновые и корпускулярные параметры:

и. (7)

В классической механике кинетическая энергия частицы

, а ее импульс. (8)

Сравнивая (7) и (8), получаем соотношения

и .

Таким образом, чтобы получить волновую функцию в полном соответствии с волновыми соотношениями, волне Де Бройля необходимо приписать некоторую фиктивную «волновую скорость»v_В , вдвое меньшую скоростиvдвижения самой частицы. Тогда функция(6) будет решением волнового дифференциального уравнения:

. (9)

Найдём вторую производную (6) по времени:

и далее .

Подставляя это значение в (9), имеем

. (10)

С учётом (7) коэффициент при втором члене можно преобразовать так:

,

что после подстановки в (10) даёт волновое уравнение

. (11)

В нерелятивистском случае кинетическая энергия связана с импульсом частицы соотношением

, откуда,

а , гдеW – полная механическая энергия частицы, аU – её потенциальная энергия. После подстановки этих соотношений в (11) получаем окончательно дифференциальное уравнение:

,

или , (12)

где =h/2 – другая форма постоянной Планка («аш перечеркнутое»).

В случае трехмерного движения уравнение (12) запишется в виде

(13)

или в другой форме

. (13а)

Здесь – оператор Лапласа (лапла-сиан).

Уравнение (13) называется стационарным уравнением Шрёдингера. Оно описывает поведение квантовой частицы встационарном (не изменяющемся со временем) потенциальном полеU(x,y,z), а его решением являетсякомплексная волновая функция(x,y,z).

Как всякая комплексная величина, -функция физического смысла не имеет, но квадрат её модуля

–

величина действительная, которая отражает плотность вероятности обнаружить частицу в данной точке (^*-комплексно сопряжённая функция).

Напомним, что плотностью вероятности pназывается вероятностьdpобнаружить частицу в некотором малом объемеdv = =dxdydz,отнесенная к единице объёма (см.Ч.1-Приложение 4):

. (14)

Отсюда вероятность обнаружить частицу в объёме dv

. (14а)

Если частица существует, то её наверняка можно где-то обнаружить, то есть найти частицу где-либо в бесконечном пространстве – событие достоверное, вероятность которого – единица:

. (15)

Процедура (15) называется нормированием-функции.

Уравнение Шрёдингера позволяет найти -функцию данного состояния и, следовательно, определить вероятность нахождения частицы в различных точках пространства. Кроме того, оно дает еще один результат –правила квантованияэнергии.

По своему смыслу -функция должна быть однозначной, непрерывной и конечной. Кроме того, она должна иметь непрерывную и конечную производную. Эти требования к решению дифференциального уравнения называютстандартными условиями. В уравнение Шредингера в качестве параметра входит полная энергия частицыW. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида (13) имеют решения, удовлетворяющие стандартным условиям лишь при некоторых определенных значениях параметра (то есть энергииW). Эти значения называютсясобственными значениямипараметра, а решения, соответствующие собственным значениям, называютсясобственными функциями.

Совокупность собственных значений образует спектр данной величины, который может быть как сплошным, так и дискретным.

В общем случае потенциальная функция Uможет изменяться со временем. Тогда и-функция частицы, движущейся в такомнестационарномполе, явно зависит от времениtи получается из решениянестационарногоуравнения Шредингера:

. (16)

Мы будем рассматривать главным образом поведение микрочастиц в стационарных потенциальных полях, и уравнение (16) в дальнейшем нам не потребуется.