Задачи для самостоятельной и практической работы

1. Найти линейные комбинации заданных матриц:

   1. , где ,.

Ответ:

2. , где ,.

Ответ:

3. , где ,.

Ответ:

4. , где ,,

Ответ:

2. Найти произведение матриц и, если это возможно:

   1. , .

Ответ: ,

2. , .Ответ: ,.

3. , .Ответ: ,.

4. , .Ответ: ,.

5. , .Ответ: ,.

6. .

Ответ: ,

7. 

Ответ: ,.

3. Найти произведение матриц и:

   1. , ,.

   2. , ,.

   3. , ,.

4. Найти значение матричного многочлена , если:

   1. , .Ответ:

   2. , .Ответ:

   3. , .Ответ:

   4. , .Ответ:

   5. , .Ответ:

   6. , .

Ответ:

5. Найти матрицу :

1) .

2) .

3) .

6. Транспонировать матрицу:

.

.

.

7. Вычислить определитель:

. Ответ: 2.	. Ответ: 1.
. Ответ: .	. Ответ: 40.
. Ответ: -12.	. Ответ: 1.
. Ответ: 4.	. Ответ: 134.
. Ответ: .
. Ответ: 60.	. Ответ: -6.
Ответ: 150.	. Ответ: 5.
. Ответ: .	. Ответ: 52.

8. Найти ранг матрицы:

   . Ответ: 2.	. Ответ: 3.
   . Ответ: 3.			. Ответ: 4.
   . Ответ: 2.		. Ответ: 3.

   1. . Ответ: 3.

   2. . Ответ: 2.

   3. . Ответ: 2.

9. Найти обратную матрицу:

   1. . Ответ:

   2. . Ответ: .

   3. . Ответ: .

   4. . Ответ: .

   5. . Ответ:

   6. . Ответ: .

   7. . Ответ: .

10. Решить матричное уравнение:

    1. . Ответ: .

    2. . Ответ: .

    3. . Ответ: .

    4. . Ответ: .

    5. . Ответ: .

    6. . Ответ: .

    7. .

Ответ: .

11. Исследовать системы линейных уравнений, для совместных систем найти общее и одно частное решение:

    1. 

Ответ: система совместна и неопределенна, общее решение , частное решение.

2. 

Ответ: система несовместна.

3. 

Ответ: система совместна и определена, о. р. - , ч. р. -.

4. 

Ответ: система несовместна.

5. 

Ответ: система несовместна.

6. 

Ответ: система совместна и определенна, о. р. - , ч.р. -.

7. 

Ответ: система совместна и неопределенна, общее решение , частное решение.

8. 

Ответ: система совместна и неопределенна, общее решение , частное решение.

9. 

Ответ: система совместна и определенна, о.р. - , ч.р. -.

10. 

Ответ: система совместна и неопределенна, общее решение , частное решение.

11. 

Ответ: система совместна и неопределенна, общее решение , частное решение.

12. 

Ответ: система совместна и определенна, о.р. - , ч.р. -.

12. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы и по формулам Крамера:

    1. Ответ: .

    2. Ответ: .

    3. Ответ: по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы систему решить нельзя.

    4. Ответ: .

    5. Ответ: .

    6. Ответ: .

    7. Ответ: .

    8. Ответ: .

    9. Найти неизвестные коэффициенты многочлена удовлетворяющего условиям:,,.

Ответ: .

10. Найти неизвестные коэффициенты функции удовлетворяющего условиям:,,.

Ответ: .

13. Решить систему методом Жордана – Гаусса:

    1. Ответ: .

    2. Ответ: .

14. Пусть заданы вектора и. Построить следующие вектора: а); б); в); г).

15. Дано: ,,. Вычислить.

16. В треугольнике ABC вектор и вектор. Построить каждый из следующих векторов: а) ; б); в); г).

17. ABCDEF - правильный шестиугольник, при­чем , .Выразить через и векторы,,, , , и .

18. Точки К и L служат серединами сторон и параллелограмма ABCD. Выразить векторы и через векторы и.

19. и медианы треугольника ABC. Выразить через и векторы,,.

20. Дано разложение вектора по базису ,,: . Определить разложение по этому же базису вектора , параллельному вектору и противоположного с ним направления, при условии, что .

21. Векторы исовпадают со сторонами треугольникаABC. Определите координаты векторов, приложенных к вершинам треугольника и совпадающих с его медианами AM, BN, СР.

22. Вектор составляет с осями и углыи. Какой угол он составляет с осью?

23. Дано: ,. Определить, при каком значениивекторыибудут перпендикулярны.

24. Даны вершины треугольника ,,. Определить его внутренний угол при вершине В.

25. Даны векторы и. Найти координаты векторных произведений: 1); 2); 3).

26. Даны вершины треугольника ,и. Вычислить длину его высоты, опущенной из вершиныВ на сторону АС.

27. Даны точки ,,. Вычислить площадь треугольникаABC.

28. Найти смешанное произведение векторов ,и, заданных своими координатами: 1) ,,; 2),,; 3),,; 4),,.

29. Проверим, компланарны ли векторы, заданные своими координатами в произвольном базисе: а) ,,; б),,.

30. Доказать, что четыре точки ,,,лежат в одной плоскости.

31. Найти длину высоты треугольной пирамиды ABCD, опущенной из вершины D на грань ABC. ,,,.

32. Показать, что векторы ,, компланарны.

33. Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках ,,,.

34. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей .

35. Определить характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей .

36. Определить характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей.

37. Привести к каноническому виду квадратичную форму .

38. Привести к каноническому виду квадратичную форму .

39. Привести к каноническому виду квадратичную форму .