Нахождение площади фигуры

Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y).

В разделе геометрический смысл определенного интеграла мы разобрались с нахождением площади криволинейной трапеции G. Вот полученные формулы:

•  для непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке[a;b],

•  для непрерывной и неположительной функции y=f(x) на отрезке[a;b].

Однако при решении задач на нахождение площади очень часто приходится иметь дело с более сложными фигурами.

В этой статье мы поговорим о вычислении площади фигур, границы которых заданы функциями в явном виде, то есть, как y=f(x) или x=g(y), и подробно разберем решение характерных примеров.

Навигация по странице.

• Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y).

• Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y).

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y).

Теорема.

Пусть функции  и  определены и непрерывны на отрезке [a;b], причем  для любого значения x из [a;b]. Тогда площадь фигуры G, ограниченной линиями x=a, x=b,  и  вычисляется по формуле .

Аналогичная формула справедлива для площади фигуры, ограниченной линиями y=c,y=d,  и : .

Доказательство.

Покажем справедливость формулы для трех случаев:

В первом случае, когда обе функции неотрицательные, в силу свойства аддитивности площади сумма площади исходной фигуры G и криволинейной трапеции  равна площади фигуры . Следовательно,

Поэтому, . Последний переход возможен в силу третьего свойства определенного интеграла.

Аналогично, во втором случае справедливо равенство . Вот графическая иллюстрация:

В третьем случае, когда обе функции неположительные, имеем . Проиллюстрируем это:

Теперь можно переходить к общему случаю, когда функции  и пересекают ось Ox.

Обозначим точки пересечения . Эти точки разбивают отрезок [a; b]на n частей , где . Фигуру Gможно представить объединением фигур . Очевидно, что на своем интервале  попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как

Следовательно,

Последний переход справедлив в силу пятого свойства определенного интеграла.

Графическая иллюстрация общего случая.

Таким образом, формула  доказана.

Пришло время перейти к решению примеров на нахождение площади фигур, ограниченных линиями y=f(x) и x=g(y).

К началу страницы

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиямиy=f(x) или x=g(y).

Решение каждой задачи будем начинать с построения фигуры на плоскости. Это нам позволит сложную фигуру представить как объединение более простых фигур. При затруднениях с построением обращайтесь к статьям: основные элементарные функции, их свойства и графики; геометрические преобразования графиков функций и исследование функции и построение графика.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой  и прямыми , x=1, x=4.

Решение.

Построим эти линии на плоскости.

Всюду на отрезке [1;4] график параболы  выше прямой . Поэтому, применяем полученную ранее формулу для площади и вычисляем определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

Немного усложним пример.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение.

В чем здесь отличие от предыдущих примеров? Ранее у нас всегда были две прямых, параллельных оси абсцисс, а сейчас только одна x=7. Сразу возникает вопрос: где взять второй предел интегрирования? Давайте для этого взглянем на чертеж.

Стало понятно, что нижним пределом интегрирования при нахождении площади фигуры является абсцисса точки пересечения графика прямой y=x и полу параболы . Эту абсциссу найдем из равенства:

Следовательно, абсциссой точки пересечения является x=2.

Обратите внимание.

В нашем примере и по чертежу видно, что линии  и y=x пересекаются в точке(2;2) и предыдущие вычисления кажутся излишними. Но в других случаях все может быть не так очевидно. Поэтому рекомендуем всегда аналитически вычислять абсциссы и ординаты точек пересечения линий.

Очевидно, график функции y=x расположен выше графика функции  на интервале [2;7]. Применяем формулу для вычисления площади:

Еще усложним задание.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций  и .

Решение.

Построим график обратной пропорциональности  и параболы .

Прежде чем применять формулу для нахождения площади фигуры, нам нужно определиться с пределами интегрирования. Для этого найдем абсциссы точек пересечения линий, приравняв выражения  и .

При отличных от нуля значениях x равенство  эквивалентно уравнению третьей степени  с целыми коэффициентами. Можете обратиться к разделу решение кубических уравнений чтобы вспомнить алгоритм его решения.

Легко проверить, что x=1 является корнем этого уравнения: .

Разделив выражение  на двучлен x-1, имеем:

Таким образом, оставшиеся корни находятся из уравнения :

Теперь из чертежа стало видно, что фигура G заключена выше синей и ниже красной линии на интервале . Таким образом, искомая площадь будет равна

Рассмотрим еще один характерный пример.

Пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми  и осью абсцисс.

Решение.

Сделаем чертеж.

 - это обычная степенная функция с показателем одна треть, график функции  можно получить из графика  отобразив его симметрично относительно оси абсцисс и подняв на единицу вверх.

Найдем точки пересечения всех линий.

Ось абсцисс имеет уравнение y=0.

Графики функций  и y=0 пересекаются в точке (0;0) так как x=0 является единственным действительным корнем уравнения .

Графики функций  и y=0 пересекаются в точке (2;0), так как x=2является единственным корнем уравнения .

Графики функций  и  пересекаются в точке (1;1), так как x=1является единственным корнем уравнения . Это утверждение не совсем очевидно, но  - функция строго возрастающая, а  - строго убывающая, поэтому, уравнение  имеет не более одного корня.

Как же действовать дальше? Здесь есть несколько вариантов.

1. Можно фигуру G представить суммой двух криволинейных трапеций. Первая фигура расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке , вторая фигура расположена выше оси абсцисс и ниже красной линии на отрезке . Следовательно, искомая площадь будет равна .

2. Можно фигуру G представить разностью двух фигур. Первая фигура является криволинейной трапецией и расположена выше оси Ox и ниже синей линии на отрезке , вторая фигура расположена выше красной и ниже синей линии на отрезке . В этом случае площадь представляем как .

3. А можно фигуру G рассматривать на отрезке , заключенной правее синей линии и левее красной. Вот на этом варианте и остановимся.

Единственное замечание: в этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида . То есть, ограничивающие линии нужно представить в виде функций от аргумента y. Это сделать в нашем случае достаточно легко. Разрешим уравнения  и  относительно x:

Таким образом, искомая площадь равна

Мы бы пришли к этому же результату и в двух других случаях.

Можно переходить к последнему примеру.

Пример.

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями .

Решение.

С построением этих линий проблем возникнуть не должно. На чертеже красной линией изображен график функции , синей линией , а черной линией .

Определим точки пересечения линий.

Начнем с графиков функций  и :

Найдем точку пересечения графиков функций  и :

Осталось найти точку пересечения прямых  и :

Дальше можно поступить двояко:

• Площадь искомой фигуры можно представить суммой площадей фигур, изображенных на рисунке

Тогда площадь фигуры равна:

• Также можно было площадь исходной фигуры выразить суммой площадей, показанных на чертеже

Для этого случая, перед применением формулы для вычисления площади фигуры, разрешим уравнения линий относительно x:

Таким образом, площадь равна:

Как видите, значения совпадают.

К началу страницы

Подведем итог.

Мы разобрали все наиболее часто встречающиеся случаи нахождения площади фигуры, ограниченной явно заданными линиями. Для этого нужно уметь строить линии на плоскости, находить точки пересечения линий и применять формулу для нахождения площади, что подразумевает наличие навыков вычисления определенных интегралов.