Формулы преобразования произведения тригонометрических функций

sinα ∙ sinβ	=	cos(α - β) - cos(α + β)
		2

sinα ∙ cosβ	=	sin(α - β) + sin(α + β)
		2

cosα ∙ cosβ	=	cos(α - β) + cos(α + β)
		2

Формулы приведения

sin(-x) = - sinxarcsin(-x) = -arcsinx

cos(-x) = cosx arcos(-x) = π-arccosx

tg(-x) = -tgxarctg(-x) = -arctgx

ctg(-x) = -ctgxarcctg(-x) = π-arcctgx

формула дополнительного угла

asinα + bcosα = где

sin = ;cos =

Значения тригонометрических функций

sinα = cosα = tgα = ctgα =

Арккосинус, арксинус, арктангенс

1. arcsin(x) =

2. arccos(x) = ;

3. arctg(x) = ;

4. arcctg(x) =

5. sin(arcsinx)=x

6. cos(arccosx)=x

7. tg(arctgx)=x

8. ctg(arcctgx)=x

Последовательность чисел

Арифметикалық прогрессия(a_n)

a₁ –первый член ,…., a_n – n–й член,d=a_n+1-a_n=…=-разность прогрессии.

1. a_n = a₁+(n-1)d. (формула n – го члена)

2. a_n = , (n>k);

3. a_n = a_k+(n-k)d;

4. или(формула суммы перых n членов(a_n))

Геометрическая прогрессия (b_n)

b₁ –первыйй член ,…., b_n – n ый член, d==…= - знаменатель прогрессии.

1. b_n = b₁q n-1, (формула n – го члена)

2. b_n =;

3. =;

4. 

Сумма бесонечно убывающей геометрической прогресси при (<1).

;

Логарифм

Логарифм числа. Свойства логарифмов

log_ab a^x= b; a logab = b, a>0, a

1. log _a(bc) = log_ab + log_ac;

2. log _a(b/c) = log_ab – log_ac;

3. log_a(bc) = c log_ab;

4. log(a_c)b = (1/c) log_ab;

5. log_aa=1;

6. log_a=;

7. log_ab = ;

8. log_a1=0;

9. log_a^mb^m = log_ab;

10. = ;

11. log_ab=

ПРОИЗВОДНАЯ

Производная некоторых функций

1. C’ =0, Cϵ R

2. (xⁿ)^’ = nx^n-1, n ϵ Z

3. =

4. 

5. 

6. 

7.

8.

9. (

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

Уравнение касательной к графику y = f(x)

Tg=-угловой коэффициент

Уравнение касательной определяется по формуле:

–точка пересечения (касания);

Промежутки возрастания и убывания заданной функции

Пусть функция y = f(x) непрерывна, определена и дифференцируема на промежутке Х и равенство (х)=0 выполняется для конечных чисел точек данного промежутка.

1. Решение неравенства показывает промежуток возрастания функции.

2. Решение неравенства показывает промежуток убывания функции.

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функцией y = f(x) в промежутке [a;b]:

1. Находится .

2. Находим критическое точки решая уравнение .

3. Выясняем, принадлежит ли полученные критические точки промежутку [a;b].

4. Находим значения функции y = f(x) на концах отрезка [a;b]

5. Сравнивая полученные значения функции, определяем наибольшее и неименьшее значения.

ИНТЕГРАЛ

Неопределенный интеграл

Интегральные исчисления

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

Методы интегрирования

1. Метод замены переменных

2. Интегрирование по частям

Определенный интеграл

1. 

2. 

3. 

4. 

Применение определенного интеграла

для вычисления площади

а) Если

[a,b], то A=

б) Если

[a,b], то A=-

в) A=

г) Площадь кривой трапеций, ограниченной двумя линиями:

Применение интеграла для вычисления объемов тел вращения

1. Объем тела, полученного в результате вращения графика функции y=f(x), ограниченной линиями x=a и x=bвокруг оси Ох вычисляется по формуле:

V=

2. Объем тела, полученного в результате вращения графика функции y=f(x), ограниченной линиями y=cи y=dвокруг оси Оу вычисляется по формуле:

3. V=

Длина кривойy=f(x)в отрезке [a,b]

ГЕОМЕТРИЯ

ПЛАНИМЕТРИЯ

Теорема Фалеса

Основные свойства призвольного труегольника

Стороны: BC=a, AC=b,AB=c.

Периметр:P=a+b+c

Полупериметр:

Против большой стороны лежит больший угол.

Теорема косинусов:

;

;

;

1. Высоты:

2. Медианы:

G – центр тяжести

3. Биссектрисы:

Пересечение биссектрис есть центр вписанной окружности.

R,r – радиусы описанной и вписанной окружностей

Площадь произвольного треугольника

1. 

2. 

3. 

4. ;

Равносторонний треугольник

h=m=l=

Прямоугольный треугольник

Частные случаи:

Равнобедренный треугольник

AC=BC

AH=HB

Выпуклый многоугольник

Пусть n–число сторон многоугольника.

1. Сумма внутренних углов многоугольника:

(n – 2);

2. Сумма диагоналей:

;

3. Площадь правильного мнгоугольника:

S =

где а – сторона правильного многоугольника.

Произвольный выпуклый четырехугольный

;

;

Параллелограм

;

;

;

Прямоугольник

P=2a+2b;

S=ab=;

Ромб

P=4a;

S=ah=;

AG=;

4.

Квадрат

Диагональ:;

Площадь:;

Трапеция

AM=MD, CN=NB

m=,

S=

Окружность. Круг. Сектор. Кольцо

O – центр окружности

MN – диаметр окружности

AB – хорда окружности

d – диаметр окружности

r- радиус окружности

RK - секущая окружности

TQ – касательная окружности

Длина хорды: l=2rsin

ab=cd

AC=BC

A

AB

Площадь круга:S=

Длина окружности:C=2

Длина дуги: l= , где - центральный угол

Площадь сектора:

Площадь сегмента:)

Площадь кольцо:

СТЕРЕОМЕТРИЯ

Призма

Площадь поверхности и объем призмы

	Наклонная призма	Прямая призма
Боковая поверх.	где перпенд.сеч, l- длина бок.ребра	где осн, Н - высота
Полная поверх.	=	=
Объем	V=, Где -перпенд.сеч .	V=, Где -осн. призмы,Н - высота

Параллелепипед

Прямой параллелипепипед

• Боковое ребра перпендикулярны основанию

• Боковое грани – прямоугольники

• Основания – параллелограммы

Прямоугольный параллелепипед

• Все диагонали равны

• 

• 

• V=abc

Куб

Объем куба: V=,где а – длина ребра.

Полная поверхность:S=6

Диагональ:d=a

Пирамида

- двугранный угол при основании

- угол наклона ребра к плоскости основания

- двугранный угол при боковым ребре

−высота

l - боковое

m - апофема

r,R – радиусы вписанной в основание и описанной около основания окружностей соответственно.

Площадь поверхности и объем

произвольной пирамиды

Полная поверхность:

Объем:

Для правильный пирамиды апофема.

Тетраэдр

где а – сторона тетраэдра;R,r – радиусы описанной около тетраэдра и вписанной в тетраэдр сфер соответственно.

Усеченная пирамида

Площадь поверхности и объем усеченной пирамиды

Для правильной усеченной пирамиды:, где периметры оснований,- апофема

Полная поверхность: +

Объем:

Если высота меньшей пирамиды, абольшей, то

.

Цилиндр

Боковая поверхность: .

Полная поверхность:=+=

Объем цилиндра:V=h=

Конус. Усеченный конус

Площадь поверхности и объем конуса

	Конус	Усеченный конус
Боковая поверх.		где L – образующая усеч.конуса
Полная поверх.
Объем		, где –площади оснований

Угол развертки конуса:

Шар. Сфера

Если расстояние секущей плоскости от центра шара равно d, то r=.

Площадь сферы: S=4

Oбъем шара:

Части шара

Площадь сегментной поверхности:	Площадь полной поверхности:.	Площадь боковой поверхности:
Объем:	Объем:	Объем:

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

На плоскости

• Расстояние от точки ) до начала координат:

• Расстояние между )и):

• Точка С,которая является серединой отрезка АВ, где A)и B), имеет координаты (

• Точка D, которая делит отрезок АВ в отношении

=

• Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки ) и):

=

• Расстояние от точки A(до прямой ax+by+c=0 находится по формуле:

d=

Пусть :y=и:y=

1. Если и, то прямое совпадают;

2. Если но, то прямые параллельны;

3. Если , то прямые пересекаются;

4. Если то прямые перпендикулярны.