Основные свойства дроби

1. ↔ad= bc;

2. ;

Сложение/Вычитание

1. ;

2. ;

Умножение

1. ;

2. ;

Деление

1. ;

2. ;

3. ;

Отношение, пропорция

; ↔

Любую бесконечную периодическую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби:

. (В знаменателе пишется столько же 9, сколько цифр в периодической части и столько же 0, сколько цифр между запятой и периодической частью)

Степень

(к – раз)

Свойства степени с целым показателем

1. ;

2. ;

3. = ; b≠0, n ͼ N;

4. = ;

5. ;

6. ; n ͼ N;

7. 

Формулы сокращенного умножения

1. (ab)² = a²2ab +b²

2. a²-b²=(a-b)(a+b)

3. (ab)³=a³3a²b+3ab²b²

4. а³в³ = (a-b)(a²+ab +b²)

5. а³-в³ = (a-b)(a²+ab +b²)

6. ;

Модуль числа и свойства

1. 

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. 

8. 

Преобразование арифметических корней

1. 

2. , a≥0, b≥0;

3. a≥0, nͼ N, m ͼ Z;

4. , a≥0, n,m ͼ N, n>1, m>1;

5. = ;

6. 

7. 

8. ;

9. 

10. ;

Освобеждение от иррациональности в знаменателе дроби

1. 

2. 

3. (

4. 

5. 

Свойства уравнений

1. 

2. 

3. 

Линейная функция

Квадратные уравнения

Если

Если

Если D<0, то решений нет.

Неполные квадратные уравнения

1. 

Если

2. 

3. 

Теорема Виета

Разложение квадратного трехчлена на множители

• 

• 

Тригонометрические уравнения

1. =0, -1≤a≤1;

0<a<1, x = (–1 ) k arcsin a + k , k

-1<a<0, x = (–1 ) k -1 arcsin a + k , k

Частные случаи:

1. 

2. 

3. 

2. cos x = a , |a|1; x = ± arccos a + 2k , k

Частные случаи:

1. 

2. 

3. 

4. 

Частные случаи:

1. 

2. 

3. 

4. 

Частные случаи:

1. 

2. 

3. 

Показательные уравнения

a^f(x)= a^g(x)→f(x)=g(x), a>0,a≠1;

Виды:

1.a^f(x)=a^m→f(x)=m;

2.a^f(x)=1→a^f(x)=a⁰→f(x)=0;

2. a^f(x)=b,a>0,a≠1,b>0→f(x)=log_ab;

Логарифмические уравнения

Log_af(x)=log_ag(x)→f(x),a>0,a≠1;

Виды:

1. Log_af(x)=b→f(x)=a^b;

2. Log_af(x)+ Log_ag(x)= Log_ah(x)↔f(x)g(x)=h(x)

3. →P(y)=0;

4. Log_h(x)f(x)=b→

5. Log_k(x)f(x)=log_k(x)g(x)→

Неравенства

Линейные неравенства

ax<b→

Квадратные неравенства

ax²+bx+c>0,a>0→

ax²+bx+c0,a>0→

ax²+bx+c<0,a>0→

ax²+bx+c≤0,a>0→

Неравенства с переменной под знаком модуля

|f(x)|*|g(x)|↔f²(x)*g²(x), где *∈(>,<,≥,≤)

|f(x)|>g(x)↔

|f(x)|<g(x)↔

Иррациональные неравенства

1. равносильно системе

2. равносильно системе

3.равносильно совокупности систем:

и

Тригонометрические неравенства

Функция синуса:

1. Множества решений неравенства : есть

1.R, еслиa<-1;

2. если-1≤a<1;

(arcsin a + 2k; π- arcsin a +2k);

3.пустое множество , еслиa≥1

2) Множества решений неравенства sinx<a есть

1. R, еслиa ≥1;

2. Если -1 <a ≤ 1,

(-- arcsina + 2k; arcsina + 2 k); -1 <a ≤ 1;

3. Пустое множество, еслиa ≤ -1

Функция косинуса:

Множества решений неравенства : cosx>aесть

1. R , если a< -1;

(2 k - arccosa; 2 k + arccosa);

если-1 ≤ a< 1;

2. Пустое множество, еслиa ≥ 1

2) Множества решений неравенстваcosx<aесть

1. R,еслиa> 1;

2. (2 k + arccosa; 2(k + 1) - arccosa),если-1 <a ≤ 1;

3. Пустое множество, если a ≤ -1

Функция тангенса:

Множества решений неравенства: tgx>aесть

Множества решений неравенства: tgx<aесть

Функция котангенса:

Множества решений неравенства: ctgx>a есть

(k; arcctga + k).

Множества решений неравенства: ctgx<aесть

(arcctga + k; (k + 1))

Показательные неравенства

1. Еслиa>1, тоa^f(x)>a^g(x)→f(x)>g(x)

2. Если0<a<1, то a^f(x)>a^g(x)→f(x)<g(x)

3. a^f(x) >c, a>0, a;

1. c>0, 0<a<1, тоf(x)<log_ac

2. c>0,a>1,тоf(x)>log_ac

3. c≤0 тоxϵR

4. a^f(x)>c, a>0, a;

1. c>0, 0<a<1, то f(x)>log_ac

2. c>0, a>1, то f(x)<log_ac

3. c≤0, то решений нет.

5. то

и

6. то

и

Логарифмические неравенства a>0, a

		a>1
logaf(x) > k
logaf(x) ≤ b	f(x)≥ab
logaf(x) >logag(x)
logaf(x) ≤ logag(x)

log_f(x)g(x)>log_f(x)h(x)равносильно совокупности систем

и

Log_f(x)g(x)≤log_f(x)h(x) равносильно совокупности систем

и