• Применения метода Гаусса.

Метод Гаусса является одним из эффективных методов решения различных задач линейной алгебры.

• Нахождение определителя матрицы.

Исходную матрицу приводят к верхнетреугольному виду методом Гаусса, следя при перестановке строк за сменой знака определителя. После приведения определитель будет равен произведению элементов главной диагонали.

• Нахождение обратной матрицы

Пусть А' - обратная матрица, т.е.  А*А'=Е. Для того, чтобы найти обратную матрицу, каждый столбец матрицы А' обозначим как неизвестный вектор Х(1),Х(2),….Тогда для  решения матричного уравнения А(Х(1)Х(2)...)=Е можно  N раз решить систему линейных уравнений методом Гаусса с неизвестным вектором Х(i) и правым столбцом – одним из столбцов единичной матрицы.

Второй метод нахождения обратной матрицы: выпишем матрицу (А|Е), в которой n строчек и 2n столбцов. Проделав прямой ход, получим (\ # # |   )

  (0 \ # | A`)

 (0 0 \ |   ),

где А` - промежуточная матрица (\ # #)

Обратный ход заключается в том, что матрицу       (0 \ #) приводят

к единичной (0 0 \)

В результате получим матрицу ( Е|А').

• Нахождение ранга матрицы.

При решении задачи нахождения ранга матрицы одним из самых эффективных методов также является применение общего метода Гаусса. Матрицу приводят описанным выше способом к ступенчатому виду, а затем просто подсчитывают количество ненулевых строк.

• Определение совместности системы.

Поскольку совместность системы означает совпадение рангов матрицы А исходной системы и расширенной матрицы (А|B), то проще всего поступить аналогично предыдущему пункту. Берем расширенную матрицу и приводим к ступенчатому виду. Если есть строки с нулевой левой частью и ненулевым свободным членом, то система несовместна, если нет – совместна.

Тема лекции № 3. Решение нелинейных уравнений

• Постановка задачи и этапы решения.

При решении алгебраических и трансцендентных уравнений, встречающихся на практике, очень редко удается найти точное решение. Поэтому приходится применять различные приближенные способы определения корней. В общей постановке задачи обычно требуют  непрерывность функции f(x), корни которой ищутся с заданной точностью. Решение при этом разбивается на два этапа:

1.ЛОКАЛИЗАЦИЯ корней, т.е. выделение непересекающихся отрезков, каждый из которых содержит по одному корню.

2.УТОЧНЕНИЕ корней, т.е. вычисление корня на каждом  из отрезков с нужной точностью.

Первая часть задачи обычно решается либо с использованием примерного графика функции, либо с помощью исследования знака функции и, как правило, не включается в стандартный курс вычислительной математики.

• Метод половинного деления

(или метод вилки) хорошо знаком по доказательству теоремы о промежуточном значении в курсе математического анализа. Его суть заключается в построении последовательности вложенных отрезков, содержащих корень. При этом на каждом шаге очередной отрезок делится пополам и в качестве следующего отрезка берется та половина, на которой значения функции в концах имеют разные знаки. Процесс продолжают до тех пор, пока длина очередного отрезка не станет меньше, чем величина 2. Тогда его середина и будет приближенным значением корня с точностью .

Алгоритм данного метода можно записать так:

1.Ввести данные (a, b, ).

2.Если нужная точность достигнута (| b - a | < 2) то иди к п.6

3.Возьми середину очередного отрезка ( С = ( a + b )/ 2 ).

4.Если значения функции в точках а и С одного знака (f(a)*f(C)>0), то в качестве следующего отрезка возьми правую половину (а=С), иначе левую (b=C).

5.Иди к п.2.

6.Напечатать ответ (( a + b ) / 2 )

Упражнение 1.5 Перевести данный алгоритм на один из языков программирования.

• Метод хорд и касательных

(или метод Ньютона, хотя принято называть методом Ньютона не комбинированный метод, а метод хорд) применяется только в том случае, когда . f'(X) и f''(X) не изменяют знака на отрезке [a,b], т.е.функция f(X) на отрезке [a,b] монотонна и не имеет точек перегиба.

Суть метода та же самая - построение последовательности вложенных отрезков, содержащих корень, однако отрезки строятся по-другому. На каждом шаге через концы дуги графика функции f(X) на очередном отрезке проводят хорду и из одного конца проводят касательную. Точки пересечения этих прямых с осью ОХ и образуют следующий отрезок. Процесс построения прекращают при выполнении того же условия (| b - a | < 2).

Для того, чтобы отрезки получались вложенными, нужно проводить ту касательную из конца, которая пересекает ось ОХ на отрезке [a,b]. Перебрав четыре возможных случая, легко увидеть, что касательную следует проводить из того конца, где знак функции совпадает со знаком второй производной. Также несложно заметить, что касательная проводится либо все время из правого, либо все время из левого конца. Будем считать для определенности , что этот конец - b .