- •Структура погрешности.
- •Метод Гаусса
- •Формулы прямого хода
- •Обратный ход
- •Описание метода Гаусса для вырожденных систем.
- •Применения метода Гаусса.
- •Нахождение определителя матрицы.
- •Нахождение обратной матрицы
- •Нахождение ранга матрицы.
- •Определение совместности системы.
- •Вопрос 1. Почему при описанном выше построении очередной полученный отрезок также содержит корень исходного уравнения? Обоснуйте этот факт геометрически, а если сможете, то докажите его строго.
- •Суть и обоснование метода итераций.
- •Условие окончания вычислений в методе итераций.
- •Сравнение различных методов.
- •Постановка задачи интерполирования.
- •Линейная интерполяция.
- •Интерполяция многочленом.
- •Единственность интерполяционного многочлена n-й степени.
- •Построение вспомогательных многочленов Лагранжа.
- •Построение многочлена Лагранжа.
- •Оценка погрешности.
- •Постановка задачи и ее качественный анализ.
- •Нахождение наилучшей линейной приближающей функции.
- •Сведение поиска функций другого вида к поиску линейной функции.
- •Общая схема
- •Метод прямоугольников.
- •Метод трапеций.
- •Метод симпсона.
- •Метод двойного счета.
- •Постановка задачи
- •Метод Пикара.
- •Общая схема численных методов.
- •Методы Рунге-Кутта
- •2. Метод стрельбы.
- •Численные методы поиска экстремумов функций одной переменной
- •Метод равномерного поиска.
- •Метод поразрядного приближения
- •Метод деления отрезка пополам (или метод дихотомии).
- •Метод квадратичной интерполяции
- •Метод золотого сечения
- •Метод координатного спуска
- •Градиентный метод
- •Постановка задачи. Графический метод
- •Пример 1 (транспортная задача)
- •Пример 2 (расчет рациона)
- •Пример 3 (распределение ресурсов)
- •Задача линейного программирования в общем виде:
- •Графический метод решения задачи линейного программирования.
- •Двойственная задача
- •Симплекс - метод
- •Описание симплекс-метода.
- •Алгоритм симплекс-метода:
- •Пример.
Алгоритм симплекс-метода:
1. Заполняем исходную таблицу (считается, что исходный базис найден).
2. Ищем в нижней строке максимальный положительный элемент (кроме 0). Если таких нет, то задача решена. Пусть j - максимальное положительное число в нижней строчке.
3. В j-том столбце ищем положительные коэффициенты аkj (если таких нет, то задача не имеет решения). Во вспомогательный столбец заносим bk/аkj. Пусть минимальный элемент во вспомогательном столбце находится в i-й строке. На пересечении разрешающего столбца (j) и разрешающей строки (i) находится разрешающий элемент aij.
4. Заполняем новую таблицу в следующем порядке:
заголовок;
первый столбец (вместо хi пишем хj);
единичные столбцы;
разрешающую строку (делим на аij);
остальные строчки по порядку.
5. Возвращаемся к пункту 2.
ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА симплекс-преобразования: (пункт 4e) имеет вид:
Пример.
Решим с помощью симплекс-метода задачу:
Видно, что данная система решена относительно свободных переменных х4 и х5 и свободных при базисных переменных х1, х2 и х3. Заполняем исходную симплекс-таблицу и действуем далее по алгоритму.
|
Базис |
Свободные члены |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
Вспомогательный столбец |
|
х1 |
2 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
2 <- минимум |
|
х2 |
7 |
0 |
1 |
0 |
2 |
3 |
7/3 |
|
х3 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
-2 |
|
|
f |
3 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
2 |
|
Базисное решение (2,7,1,0,0) f=3
|
Базис |
Свободные члены |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
Вспомогательный столбец |
|
х5 |
2 |
1 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
|
|
х2 |
1 |
-3 |
1 |
0 |
5 |
0 |
0.2 <- минимум |
|
х3 |
5 |
2 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
|
|
f |
-1 |
-2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
Базисное решение (0,1,5,0,2) f= -1
|
Базис |
Свободные члены |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
Вспомогательный столбец |
|
х5 |
2.2 |
0.4 |
0.2 |
0 |
0 |
1 |
|
|
х4 |
0.2 |
-0.6 |
0.2 |
0 |
1 |
0 |
|
|
х3 |
5.2 |
1.4 |
0.2 |
1 |
0 |
0 |
|
|
f |
-1.2 |
-1.4 |
-0.2 |
0 |
0 |
0 |
|
Базисное решение (0,0,5.2,0.2,2.2) f= -1.2
Видим, что данная таблица является последней и соответствующее ей базисное решение является оптимальным. Ответ получаем такой: fmin =-1.2, вектор X=(0;0;5.2;0.2;2.2).