Laboratorni_roboti_z_MNM

A.Точка А належить відрізку ВС. Запишіть це співвідношення у векторній формі ( BA =α BC, 0 <α <1).

B.Прочитайте запис геометричною мовою AM =α AB . (Точка М належить прямій АВ.)

C.Відрізки АВ і МК паралельні. Запишіть це співвідношення у

векторній формі ( AB = λMK ).

D. Точка С − середина відрізка АВ. Як це співвідношення записати у векторній формі? ( AC = −CB ).

E.Прямі АС й MP паралельні. Як записати це співвідношення у векторній формі? Чи є різниця в записі розв’язків завдань А та C? Чому?

F.Запишіть у векторній формі умову перпендикулярності прямих

АВ і РК. ( AB PK = 0 )

Розв’язування цих й інших подібних задач бажано оформити у вигляді таблиці і користуватися нею при розв’язуванні задач векторним методом.

Учням показується найбільш доцільний вибір системи координат (у тому випадку, коли це необхідно) і вибір базисних векторів.

Ця дія формується в учнів за допомогою таких задач:

A.Знайдіть кут між векторами a = (1; − 2),b = (−3;1).

B.Чотири точки задані своїми координатами: A (3; 1), В(1; 4), C (I; 0), D (4; 5). Визначите кут між прямими АВ й CD.

C.У прямокутній трапеції МРКС ( M = 90°, P= 90°) довжини сторін МР = 4, РК = 2, МС = 8. Доведіть, що діагоналі трапеції взаємно перпендикулярні. Не розв’язуючи задачу, покажіть, яка система координат найбільш доцільна для пошуку розв’язування даної задачі.

D.Дано правильну чотирикутну піраміду SABCD, у якій бічні ребра нахилені до площини основи під кутом α , точка К — середина ребра BS.

Знайдіть кут ϕ між прямими АК й SC. Не розв’язуючи задачу, вкажіть, яке

розташування системи координат найбільш доцільне для її розв’язування.

E. До вершини куба прикладені три сили в 1Н, 2Н, ЗН, спрямовані по діагоналях граней куба, що проходять через цю вершину. Знайдіть величину рівнодійної цих трьох сил.

Зауваження. У задачах А та В система координат вибирається довільно, після чого будуються точки за координатами й умова задачі записується у векторній формі.

Самостійна робота

1. Проаналізуйте підручники з геометрії [2], [3], [11], [12], [35], [36] і дайте відповідь на питання:

171

1)Яке трактування поняття «вектор» прийняте кожним авторським колективом?

2)Які елементи векторного апарату та у яких класах вводяться?

3)Чи дозволяє система завдань сформувати понятійний апарат, окремі компоненти векторного методу та векторний метод розв’язування задач у цілому?

2.Користуючись зазначеною нижче літературою, підберіть системи задач на формування кожного компоненту векторного методу.

Література: [1], [2], [3], [4], [10], [11], [12], [15], [18], [19], [24], [34], [35], [36], [38], [39], [40], [41], [42], [44], [45], [46], [47], [50], [51], [52], [53], [55].

172

Лабораторна робота № 18. Метод геометричних перетворень при вивченні математики в школі.

Мета роботи. Виділити характеристичні ознаки методу геометричних перетворень і розглянути особливості його вивчення за різними шкільними підручниками математики.

Основний зміст

Сутність будь-якого математичного методу, у тому числі й методу геометричних перетворень, полягає в побудові моделі однієї теорії (у нашому випадку традиційної евклідової геометрії) в об'єктах іншої (групи геометричних перетворень). Істотною ознакою математичної моделі є наявність ізоморфізму між моделлю й модельованою теорією. Установимо наявність зазначеного ізоморфізму між безліччю точок і прямих евклідової площини й безліччю елементів групи рухів. Кожній точці А ставиться у відповідність центральна симетрія із центром у даній точці А, кожній прямій

а – осьова симетрія з віссю а.

Різні відношення між точками й прямими евклідової площини можуть бути інтерпретовані за допомогою композицій осьової й центральної симетрії. Наприклад, відношення «точка А належить прямій а» відповідає тому, що композиції центральної симетрії щодо центра А та осьової з віссю а, осьової відносно прямої а й центральної із центром А являють собою те саме перетворення площини.

Наявність зазначеного вище ізоморфізму й дозволяє застосовувати метод геометричних перетворень при розв’язуванні задач, сформульованих у термінах евклідової геометрії.

Метод геометричних перетворень у школі використовується як засіб обґрунтування деяких відношень між елементами евклідової геометрії (наприклад, конгруентності, паралельності й т.д.). При цьому його

застосування звичайно припускає виконання наступної послідовності кроків:

•вибирається геометричне перетворення, що володіє властивістю, що дозволяє обґрунтувати наявність зазначеного відношення між об'єктами евклідової геометрії;

•виконується перетворення, при якому один об'єкт переходить в інший;

•обґрунтовується наявність зазначеного відношення між об'єктами за допомогою властивостей обраного геометричного

перетворення.

Виділені кроки використання методу геометричних перетворень обумовлюють необхідність актуалізації основних понять теорії

173

геометричних перетворень і властивостей (загальних і специфічних) окремих видів перетворень й оволодіння вмінням будувати образи фігур при тому або іншому перетворенні.

Покажемо реалізацію виділеної послідовності кроків при розв’язуванні наступної задачі методом геометричних перетворень:

Задача. На висоті BО трикутника ABC є точка К, така, що АК=КС. Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений

(рис. 18-1).

У задачі необхідно встановити конгруентність відрізків АВ і ВС (або рівність їхніх довжин).

Перший крок полягає у виборі геометричного перетворення, що має властивість зберігати відстань. Саме ця властивість дозволить обґрунтувати відношення рівності між відрізками АВ і ВС. У якості такого перетворення доцільно вибрати осьову симетрію відносно прямої BО.

Другий крок полягає в доведенні, що при симетрії відносно прямої BО відрізок АВ перейде у відрізок СВ. Це можна довести досить просто. Точка В перейде сама в себе при обраній симетрії, тому що вона є точкою осі симетрії. Точка А перейде в С при даній симетрії, тому що ці точки лежать на перпендикулярі до осі симетрії й АК = СК (К — точка осі симетрії).

Третій крок — заключний етап розв’язування задачі. Так як відрізки АВ і СВ симетричні відносно осі BО, а симетрія є переміщенням (рухом), то довжини відрізків АВ і СВ рівні.

До основних понять теорії геометричних перетворень можна віднести поняття відображення, перетворення, переміщення (руху), зворотного перетворення, способу задання геометричного перетворення, конкретні види геометричних перетворень.

До загальних властивостей геометричних перетворень відносяться такі:

•композиція переміщень (рухів) є переміщення (рух) ;

•перетворення, зворотне переміщенню (руху), є переміщення

(рух);

174

•при переміщенні (русі), а також при перетворенні подібності прямі переходять у прямі, півпрямі – у півпрямі, відрізки – у відрізки; при зазначених перетвореннях зберігаються кути між півпрямими;

•при переміщенні (русі) точки, що лежать на прямій, переходять у точки, що лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розташування.

Виділяються специфічні властивості кожного з конкретних видів геометричних перетворень (осьової й центральної симетрії, повороту, паралельного перенесення, гомотетії, перетворення подібності), розглянутих у шкільному курсі математики.

Для кожного виду перетворення актуалізується спосіб побудови образу фігури при відповідному перетворенні.

Геометричні перетворення в школі розглядаються, по-перше, як об'єкт вивчення й, по-друге, як основний інструмент методу.

У систематичному курсі геометрії вивчаються перетворення фігур на площині й у просторі. При цьому перетворення фігури розуміється як її зсув. Серед перетворень виділяються рухи й перетворення подібності. Розглядаються часткові види рухів: осьова симетрія, центральна симетрія, поворот, паралельне перенесення. Частковим видом перетворення подібності є гомотетія.

Необхідно звертати увагу на задання того або іншого виду перетворення, окремо обумовлювати набір умінь, які формуються в учнів при розгляді видів перетворень.

Потім необхідно з'ясувати, які види перетворень розглядаються в пропедевтичному курсі геометрії (V-VI класи), які знання й уміння формуються при їх розгляді.

Розглянемо використання методу геометричних перетворень у курсі алгебри, взявши за основу розв’язування задач на побудову графіків функцій. Проаналізуємо перетворення функцій та результати дії цих перетворень на загальний вигляд графіка функції. Види перетворень, що використовуються для побудови графіків функцій, такі:

1. Паралельне перенесення графіка функції y = f (x) по горизонталі

175

2. Паралельне перенесення графіка функції y = f (x) по вертикалі (або

y = f (x) +b. Отже, щоб побудувати графік функції y = f (x) +b за відомим графіком функції y = f (x) ,треба останній паралельно перенести на вектор

(0;b ).

3. Симетрія графіка функції y = f (x) відносно прямої y=l (при l=0

симетричною точці А відносно прямої y=l, Множина точок А1 при l=0

отримується шляхом відображення графіка функції y = f (x) симетрично осі Ох, а при побудові графіка функції y =| f (x) |, треба залишити без змін усі частини графіка y = f (x) , які лежать вище осі Ох , а ті фрагменти графіка, які лежать нижче осі Ох, відобразити симетрично відносно цієї осі.

4. Симетрія графіка функції y = f (x) відносно прямої х=l (при l=0

симетричною точці А відносно прямої x=l. Множина точок А1 при l=0 утворить графік функції y = f (−x), або частину графіка функції y = f ( x ) ,

останній симетрично осі Оy, а при побудові графіка функції y = f ( x ) , треба побудувати графік функції y = f (x) для х≥0, а потім відобразити цю криву

симетрично відносно осі Оy. Ці дві частини утворять шуканий графік функції y = f ( x ) . Крім того, аналогічно останньому прикладу перетворення

симетрії відносно прямої х=0 при побудові графіка функції може бути використане і у випадку встановлення парності функції y = f (x) .

176

5. Стиск-розтяг графіка функції y = f (x) відносно прямої y=l вздовж осі Оy (при l=0 отримаємо частковий випадок стиску-розтягу відносно осі Оx вздовж осі Оy). Це перетворення можна розглядати як гомотетію відносно

точки А відносно прямої y=l з коефіцієнтом m. Множина точок А1 при l=0

останнього в m раз від осі Оx, якщо m>1, та стисненням графіка функції y = f (x) в m1 раз до осі Оx, якщо 0<m<1).

6. Стиск-розтяг графіка функції y = f (x) відносно прямої x=l вздовж осі Оx (при l=0 отримаємо частковий випадок стиску-розтягу відносно осі Оy вздовж осі Оx). Це перетворення можна розглядати як гомотетію відносно

точки А відносно прямої x=l з коефіцієнтом k. Множина точок А1 при l=0

y = m f (kx −a) +b , використовуючи графік функції y = f (x). Розв’яжемо задачу за планом послідовної побудови графіків таких функцій: 1) y = f (x).

2) y = f (kx) . 3) y = f (kx −a) . 4) y = m f (kx −a) . 5) y = m f (kx −a) +b .

Відзначимо що порядок використання перетворень не грає особливої ролі. Розглянемо одну з можливих послідовностей перетворень, поклавши

177

2) будуємо графік функції y = f (kx −a) , попередньо записавши функцію у вигляді y = f (k(x − ak )) , паралельно перенісши графік функції

y = f (kx) на вектор ( ak ;0).

Зауваження 1. Ці два перетворення можна здійснити і в зворотному порядку, спочатку перенісши графік функції y = f (x) на вектор ( ak ;0), а

на вектор (0;b).

Зауваження 2. Пункти (3) і (4) можна виконати і у зворотному порядку,

спочатку перенісши графік функції y = f (kx −a) на вектор (0; mb ), а потім

над отриманим графіком функції виконати стиск-розтяг відносно осі Ох. Усі зазначені в п.(1)-(3) перетворення можна виконувати у довільному

порядку, але треба мати на увазі , що величини, на які графіки переносяться вздовж осей координат, залежать від порядку виконання перетворень. Реалізація такого підходу до навчання учнів, як показала практика, дає можливість сформувати у старшокласників узагальнені уміння використання геометричних перетворень до побудови графіків функцій. Проілюструємо це на прикладі.

В(-1;1), О(0;0), С(1;1), Д(2;4) (на рис. 18-2 графік показаний суцільною лінією). Розв’яжемо задачу за таким планом:

178

1) використавши гомотетію відносно прямої x = 0 , побудуємо графік

А, В, С, Д, О. Очевидно, що точка О залишиться на місці, а відстані від точок А, В, С, Д до осі Оy у 3 рази збільшаться (відповідні точки показані на рисунку 18-2 квадратами, а

графік – дрібним пунктиром). 2) використовуючи паралельне перенесення, побудуємо графік

означає, що кожну з точок попереднього графіка треба паралельно перенести на

вектор (3;0) (відповідні точки показані на рисунку 18-2 ромбами, а графік – пунктиром з крапками).

3) використовуючи гомотетію відносно прямої y = 0 , побудуємо графік

попереднього графіка будуть зміщені в результаті паралельного перенесення на вектор (0;-4) (відповідні точки показані на рисунку 18-2 кругами, а графік – жирною суцільною лінією).

Зауваження 3. Корисно було б змінити план розв’язування цієї задачі у частині п.(1) і (2). А саме, спочатку, побудувати графік функції y = (x −3)2 ,

перенісши графік функції y = x2 вправо на три одиниці, а потім розширити його у 3 рази від лінії х=3, отримавши таким чином графік функції

y= 1 (x −3) 2 .

3

Завдання 1. Виконайте аналіз системи практичних робіт, поміщених після параграфу «Геометричні перетворення та їх властивості» (див. [2]). Підсумком роботи може бути заповнення таблиці.

179