Laboratorni_roboti_z_MNM

методу розв’язування задач (розв’язуючі моделі задач: лінійне рівняння з однією змінною; система двох лінійних рівнянь із двома змінними).

Завдання 15. Опишіть методику організації вчителем етапу засвоєння школярами суті методу рівнянь і нерівностей (на прикладі задачі, розв’язуючою моделлю якої буде система лінійних нерівностей з однією змінною).

Завдання 16. Складіть набори задач, направлених на формування в учнів операцій:

•введення позначень для невідомих, якщо основне невідоме встановлене;

•виділення основного відношення даної задачі, що використовується для одержання рівняння.

Орієнтуйтеся на курс математики V-VI класів.

Завдання 17. Опишіть методику формування вміння застосовувати метод рівнянь і нерівностей при розв’язуванні задач певного виду.

Зробіть це на прикладі задачі: В 5 л розчину, що містить 30%

кислоти, почали вливати розчин, що містить 70% кислоти. Скільки потрібно влити другого розчину в перший, щоб їхня суміш містила не менш 60% кислоти?

Завдання 18. Орієнтуючись на курс математики IX класу, складіть набір задач, який можна використовувати з метою формування в учнів умінь здійснювати раціональний вибір виду розв’язуючої моделі запропонованої задачі.

При виконанні завдань до даної лабораторної роботи використайте у якості зразка розв’язану текстову задачу з лабораторної роботи № 7 та приклад роботи над задачею, що поданий нижче.

Задача. Маємо два сплави (розчини і таке подібне) з концентрацією речовини Р відповідно x та y відсотків. У якому співвідношенні слід взяти ці сплави (розчини і таке подібне), щоб отримати сплав з концентрацією

151

відображатиме структуру задачної ситуації. Нехай результуючий сплав (розчин і таке подібне) отримано у кількості a+b. Врахуємо, що ми візьмемо для цього першого сплаву у кількості a, а другого сплаву − у кількості b. Надалі потрібно заповнити клітини матриці інформації, виходячи з умови задачі та позначень невідомих величин. Пояснимо основні особливості створення структурної моделі задачної ситуації (рис. 15-2), яка містить опис обох ситуацій, зображених ієрархічною моделлю (рис. 15-1). По горизонталі задачна ситуація характеризується трьома параметрами − вагою речовини Р у сплаві, вагою сплаву та частиною речовини Р у сплаві. Вертикальні стовпчики описують кількісні характеристики першого та другого сплавів та кількісні характеристики сплаву, що отримався. Так як за умовою задачі х − відсотковий вміст речовини Р у першому сплаві, y − відсотковий вміст речовини Р у другому сплаві, z − відсотковий вміст речовини Р у сплаві, що отримався, то частина речовини Р у першому

сплаві − 100x , у другому сплаві − 100y , у сплаві, що отримався − 100z , а вага

речовини Р у першому сплаві – a 100x , у другому сплаві – b 100y , а в результуючому сплаві – (a +b) 100z .

Ідея створення матриці інформації задачної ситуації полягає в тому,

що:

1)після введення невідомих величин x, y, z заповнюємо клітини матриці інформації;

2)у матриці інформації зображуємо зв’язки між її елементами (клітинами) у вигляді рівностей у стовпчика та рядках.

3)Серед цих рівностей знаходимо рівняння чи систему рівнянь і, цим самим, побудуємо модель задачної ситуації у вигляді рівнянь, із яких і знайдемо відповідь.

Рис. 15-2. Структурна модель задачної ситуації задачі.

152

Модель задачної ситуації у вигляді рівняння є розв’язуючою (з якої отримуємо розв’язок) і позначається на структурній моделі (рис. 15-2) зафарбованими клітинками. В результаті отримаємо рівняння (1).

Здійснивши елементарні перетворення: помножимо рівність на 100, зведемо подібні доданки при a та b, розділимо отриману рівність на добуток b*(x-z), отримаємо співвідношення (або пропорцію) (2).

Задача. Два шматки сплаву масами 6 і 8 кг мають різний відсотковий вміст міді. Від першого шматка відтяли деяку частину, а від другого − частину, у два рази більшу за масою, ніж від першого. Кожну з відтятих частин сплавили з рештою іншого шматка, після чого дістали два нових сплави з однаковим відсотковим вмістом міді. Яка маса кожної з частин,

створена ієрархічна модель задачної ситуації не відображає проблему задачної ситуації (запитання задачі) та зв’язки між складовими системи «задачна ситуація».

Другою основною евристикою процесу розв’язання задачної ситуації

буде створення її моделі у вигляді матриці (таблиці) інформації. Ця модель створюється на основі умови задачі й попередньої ієрархічної моделі. «Частковими» евристиками створення моделі задачної ситуації на цьому етапі будуть такі :

1. Матриця інформації матиме три основні рядки, які характеризуватимуть кількісні показники частини цілого, цілого та відсотку частини в цілому, а також дві групи стовпців, які відображають дві складові ієрархічної моделі (ситуації А та Б). Елементарними складовими такої системної моделі задачної ситуації будуть клітини матриці інформації.

153

Окрім цього потрібно між основними рядками і стовпцями виділити ще вільні рядки і стовпці для відображення зв’язків між елементами системи «матриця інформації».

2.Вводимо невідомі величини і заповнюємо клітини матриці інформації

увідповідності з даними вербальної та ієрархічної моделей задачі.

3.Зображуємо зв’язки між основними компонентами (клітинами) матриці інформації:

3.1.Вертикальні зв’язки визначаються співвідношенням a = b 100n , де a

–частина цілого, b – ціле, n – відсоток частини в цілому.

3.2.Горизонтальні зв’язки визначаються із умов задачі та з аналізу задачної ситуації на основі її попередніх моделей.

4. Серед можливих рівностей у матриці інформації визначаємо рівняння, з яких буде визначена невідома величина (чи невідомі величини).

Реалізуємо вказані евристики на прикладі згаданої задачі. Визначимо такі компоненти ієрархічної моделі задачної ситуації: сплавлення частини, відтятої від першого шматка, із залишками другого шматка (ситуація А); сплавлення частини, відтятої від другого шматка, із залишками першого шматка (ситуація В) (див. рис. 15-3). Введемо позначення невідомих

величин: х − відсотковий вміст міді у першому шматку сплаву, y − відсотковий вміст міді у другому шматку сплаву, z − відсотковий вміст міді у шматках сплавів, що отрималися, m − маса частини, відтятої від першого шматка.

Рис. 15-4. Структурна модель задачної ситуації задачі.

Тепер заповнимо клітини матриці інформації, виходячи з умови основної задачі та позначень невідомих величин. Пояснимо основні особливості створення такої матриці, яка зображає структурну модель задачної ситуації (див. рис. 15-4). Структурна модель містить опис обох ситуацій, зображених в ієрархічній моделі (рис. 15-3). По горизонталі задачна ситуація характеризується аналогічно до структурної моделі

154

попередньої задачі трьома параметрами − вагою міді у сплаві, вагою сплаву та частиною міді у сплаві. Вертикальні стовпчики описують кількісні характеристики ситуацій А та В. При аналізі ситуації А виділимо три її компоненти: кількісні характеристики шматка, відтятого від першого сплаву; кількісні характеристики залишку другого сплаву; кількісні характеристики сплаву, що отримався.

Справді, так як х − відсоток частки міді у першому шматку сплаву, y − відсоток частки міді у другому шматку сплаву, z − відсоток частки міді у

шматках сплавів, що отрималися, то частина міді у першому сплаві − 100x , у

другому сплаві − 100y , у сплаві, що отримався − 100z .

Так як m − маса частини, відтятої від першого шматка, то від другого шматка за умовою задачі відтяли 2m. Тоді маємо, що m кг першого шматка сплавляють з частиною другого шматка, що лишилася, а це 8-2m кг. Тому маса шматка, що отримався у результаті сплавляння, визначиться так:

8-2m+m=8-m (кг).

Позначимо на рис. 15-4 незаповнені клітини знаками питання: вагу міді у шматку, що отримався в результаті сплавляння; вагу міді у частині, що відтяли від першого шматка; вагу міді у частині, що залишилася від другого шматка. Враховуючи змістовний зв’язок (1), характерний для таких задач, ми легко можемо визначити перелічені величини, відповідно позначивши їх

Рис. 15-5. Побудова системи рівнянь за структурною моделлю.

Зазначимо, що логічно буде вказати і той факт, що сума вмістів міді у частині, що відтяли від першого шматка, та у частині, що залишилася від другого шматка, дорівнює вмісту міді у шматку, що отримався в результаті сплавляння. Цей факт позначений на структурній моделі наявністю

155

горизонтального зв’язку в рядку «вага міді у сплаві» у характеристиках «ситуації А». Відмітимо, що вказане співвідношення буде компонентом розв’язуючої моделі задачі, яка буде представлена у даному випадку системою алгебраїчних рівнянь. Аналогічним способом аналізуємо ситуацію В і заповнюємо клітини правої частини матриці інформації (див. рис. 15-4) і оформимо матрицю інформації, що зображена на рис. 15-5.

Третьою основною евристикою процесу розв’язання задачної ситуації буде створення її моделі у вигляді алгебраїчного рівняння (або системи алгебраїчних рівнянь), яке одержимо із структурної моделі задачної ситуації − «матриці інформації».

Алгебраїчна модель задачної ситуації − система рівнянь (4) (на рис. 15-5 зафарбована сірим кольором), яка в результаті елементарних перетворень (множимо обидва рівняння системи на 100, розкриємо дужки, з першого рівняння виразимо 8(z-y), а з другого − 6(x-z)) перетворюється в систему (4.1):

Враховуючи результати розв’язання першої задачі, робимо висновок, що для виконання умови другої задачі у процесі сплавляння шматків маса шматка першого сплаву має відноситися до маси шматка другого сплаву як 3:4. Складемо пропорцію (див. ліву або праву частину матриці інформації на рис. 15-5 − строчку «вага сплаву»):

m/(8-2m)=3/4 або (6-m)/2m=3/4.

В результаті розв’язування любого з рівнянь отримаємо результат m=2,4 кг. Тобто, від першого шматка відтяли 2,4 кг, а від другого (за умовою у 2 рази більше) − 4,8 кг.

Це ж співвідношення випливає і з наочного порівняння рівняння (1) з другим рівнянням системи (4).

Для цього використаємо схематичне зображення.

Як показано раніше із першого рівняння цього схематичного зображення отримуємо розв’язок першої задачі у вигляді пропорції:

156

ba = zx −− yz .

На основі цієї пропорції і співвідношення (5) отримуємо: 62−mm = zx −− yz = 34 .

Звідси знаходимо m=2,4 кг.

Використання результатів першої задачі як допоміжної для розв’язування другої задачі дозволяє здійснити декомпозицію розв’язування другої задачі до двох задач, які розв’язуються послідовно, що значно полегшує розв’язання другої задачі.

Самостійна робота

1. Укажіть конкретні особливості, пов'язані із застосуванням методу рівнянь і нерівностей до розв’язування наступних задач.

Завдання 1. Основи трапеції відносяться як 2:3, а середня лінія трапеції дорівнює 5 м. Знайти основи.

Завдання 2. Середня лінія трапеції дорівнює 7 см, а одна з основ більше іншої на 4 см. Знайти основи трапеції.

Завдання 3. Човен перебуває на відстані 3 км від найближчої точки А берега озера. Пасажир човна хоче потрапити в село В, що знаходиться на березі на відстані 5 км від А. Човен рухається зі швидкістю 4 км/год, а пасажир, вийшовши із човна, може за годину пройти 5 км. До якого пункту берега повинен пристати човен, щоб пасажир досяг села в найкоротший час?

Якими знаннями, уміннями повинні володіти учні, щоб використати метод рівнянь і нерівностей при розв’язуванні кожної із цих задач?

2.Складіть конспект уроку з теми «Системи двох лінійних рівнянь із двома змінними. Розв’язування задач».

3.Складіть підсумкову контрольну роботу з теми «Квадратні рівняння», включивши до неї задачу, для розв’язування якої буде потрібно застосувати метод рівнянь. Запропонуйте норми оцінки цієї контрольної роботи, вказавши конкретно, правильність виконання яких дій учнів й яким чином буде оцінюватися.

4.Маючи на увазі конкретну задачу (набір задач), розробіть засоби наочності (наприклад, набір кодопозитивів або сценарій мультимедійної презентації), які доцільно використати в процесі навчання школярів реалізації кожного з етапів процесу математичного моделювання при розв’язуванні задач методом рівнянь і нерівностей.

Література: [4], [5], [7], [8], [9], [15], [24], [25], [31], [32], [33], [38], [39], [40], [47], [49], [50], [52], [53], [54], [55].

157

Лабораторна робота № 16. Методика формування й використання координатного методу в школі.

Цілі роботи. 1. Визначити цілі й навчальні завдання введення й використання координатного методу в школі.

2.Систематизувати понятійний апарат й основний зміст знань з питань використання координатного методу в школі.

3.Розкрити специфіку використання координатного методу в шкільних курсах алгебри й геометрії.

4.Проаналізувати шкільні підручники з питань формування й використання координатного методу в школі.

5.Розробити конкретну методику формування окремих компонентів методу й використання координатного методу в школі.

Основний зміст

I. Цілі й навчальні завдання вивчення координатного методу в школі:

1.Показати, що координатний метод має свою мову, свої прийоми, використовуючи які можна виражати властивості геометричних фігур аналітичною мовою у вигляді рівнянь, нерівностей, їх систем чи сукупностей, функцій з подальшим переведенням вказаних моделей на геометричну мову (графіків).

2.Сформувати понятійний апарат координатного методу (координатна пряма й координатна площина, координати точки, рівняння прямої, кола, параболи, гіперболи, довжина відрізка, координати середини відрізка).

3.Сформувати конкретні прийоми використання координатного методу при вивченні курсів алгебри й геометрії.

II. Понятійний апарат координатного методу для прямокутної системи координат.

Абсциса (лат. «відтинати») – це відрізок, що відтинається на осі Ox . Ордината (лат. «впорядкований») – це відрізок, що відтинається на осі

Oy .

Координати (точки) – числа, узяті в певному порядку, й точки, що характеризують положення точки на лінії, на площині, у просторі.

Пряма, на якій зазначений спосіб зображення дійсних чисел,

називається координатною.

Зауважимо, що у математиці є теорема (аксіома), що вводить

координатну пряму або координати на прямій. У школі координатна пряма вводиться поступовим «присвоєнням» точкам прямої певних чисел у зв'язку

158

з розширенням числових множин й осмисленням операції відкладання відрізка (вимірювання відрізка).

Координатна площина – площина, на якій розглядається два класи ліній таких, що кожна лінія одного класу перетинається з кожною лінією іншого класу тільки в одній точці. Початкові лінії вибрали x = 0 і y = 0 (їх

назвали осями координат). Лінії x = const і y = const − координатні лінії.

Координатний метод − спосіб визначення положення точки (на прямій, на площині, у просторі) за допомогою чисел (для декартової системи координат). Використовуючи координатний метод, алгебраїчні рівняння можна витлумачити у вигляді геометричних образів (графіків) і, навпаки, шукати розв’язування геометричних задач за допомогою аналітичних формул (рівнянь і їхніх систем).

III. Основні знання й навчальні задачі, що формують координатний метод:

•знати запис точки в координатній формі й за даною координатною формою будувати її на координатній площині (прямій).

•знати задання прямої в координатній формі і за даною координатною формою будувати пряму на координатній площині.

Пряма однозначно визначається рівнянням, якщо: а) йому задовольняють координати (х; у) будь-якої точки цієї прямої, і навпаки; б) будь-яка пара чисел (х; у), що задовольняє рівняння прямої, являє собою координати відповідної точки прямої. Будь-яка пряма на координатній площині має рівняння виду ax+by+c=0 (або прийняте для шкільного курсу алгебри y=kx+b). Знайшовши координати двох точок, можна одержати геометричний образ прямої на координатній площині. Використовуючи аналітичну і геометричну мови, можна описати властивості прямої аналітичною та геометричною мовами (див. завдання для самостійної роботи).

Аналогічно рівняння кола із центром С(а;b) і радіусом r буде (х−а)2+(y−b)2=r2 (якщо центр кола лежить на початку координат, то рівняння кола х2+у2=r2); рівняння параболи у=ах2, а≠0 (шляхом зсувів осей координат можна перейти й до рівняння виду у=ах2+bx+c).

тo гіпербола рівнобічна і її рівняння х2−у2=а2. Якщо за осі координат

159

Необхідно пам'ятати основну вимогу до рівняння будь-якої лінії.

Рівняння буде рівнянням лінії, якщо йому задовольняють координати (х;у) будь-якої точки цієї лінії, і навпаки: будь-яка пара чисел (х;у), що задовольняє рівнянню лінії, являє собою координати точки.

Дана обставина в шкільних математичних задачах виражається в завданнях: а) з'ясувати, чи належить дана точка лінії (прямій, параболі, колу, гіперболі); б) дана точка на лінії, рівняння якої відомо, знайти її координати.

Знання рівнянь основних ліній, досліджуваних у шкільному курсі геометрії, зводиться до розв’язування двох типів навчальних задач: а) за заданими геометричними властивостями лінії скласти її рівняння; б) за заданим рівнянням лінії з'ясувати її геометричні властивості. У курсі алгебри друге завдання формулюється інакше: за заданим рівнянням побудувати графік (зобразити графік) лінії і за допомогою графічної мови з'ясувати властивості функції, а потім з'ясовані властивості перевести на аналітичну мову. Перше завдання розв’язується у випадку застосування координатного методу в геометрії і звичайно називається «складанням рівняння лінії».

У шкільному курсі математики використовується ще одна група фактів з аналітичної геометрії:

•відстань між точками;

•поділ відрізків у даному відношенні (окремий випадок – знаходження координат середини відрізка).

Дана група фактів в основному застосовується в геометрії для знаходження відстані між точками й координат середини відрізка.

IV. Обґрунтування доцільності використання координатного методу в школі й основні його етапи.

Як приклад можна навести розв’язування задачі координатним способом з лабораторної роботи № 14. Крім того, розглянемо розв’язування координатним способом ще двох математичних задач.

Завдання 1. У рівнобедреному трикутнику центр вписаного кола поділяє висоту, проведену до основи, у відношенні 17:15, починаючи від вершини. Основа трикутника дорівнює 60 см. Знайти радіус вписаного кола.

Дано: ABC − трикутник, AB = BC, AC = 60см, M −центр вп. кола,

160