§ 13. Конгруенції другого степеня за простим модулем.

Число називається квадратичним лишком (нелишком), якщо конгруентністьде- просте число і, має (не має) розв’язок.

Символ Лежандра визначається так:

=

При обчисленні значень символа Лежандра використовуються наступні його властивості.

. Якщото

Якщо іпрості числа, то

Приклад. Чи має рішення конгруенція ?

Знайдемо значення символа Лежандра

Маємо

При обчисленнях послідовно використовувались властивості символа Лежандра .

Відповідь: дана конгруенція розв’язків не має.

Завдання. Знайти значення символа Лежандра.

§ 14. Порядок числа. Первісні корені.

Порядком числа за модулем, при, називається найменше натуральне число, яке задовільняє конгруентність

Мають місце наступні властивості:

Якщо то

Числа попарно непорівняльні за модулем.

Якщо то

Число називається первісним коренем за модулем, якщо

Кількість первісних коренів за простим модулем дорівнює

Приклад. Знайти первісні корені за модулем

Так як то первісних коренівПорядки чисел за модулемможуть бути лише дільниками числаЧислоє первісним коренем, так які тільки

Число - не первісний корінь, так як уже

Аналогічно перевіряють і наступні числа.

Відповідь: первісними коренями за модулем є числа

Завдання. Знайти первісні корені за вказаним модулем.

§ 15. Індекси та двочлени конгруенції.

Нехай - первісний корінь за модулем. Індексом числаза модулемз основоюназивається показник степеня, в який потрібно піднести, щоб отримати число, конгруентне з числомпо модулю. Для індекса введено позначення -

Властивості індексів:

Рішення двочленних конгруентностей за умови існування первісних коренів за модулем, зводиться до розв’язування конгруентностіІндекси можна застосовувати і для розв’язування показникових конгруентностей виду

Приклад. Розв’язати конгруентність

Переходимо до рівносильної конгруентності

Так як ітоРозв’язуємо допоміжну конгруентністьТак якто

Відповідь:

Завдання. Розв’язати двочленні і показникові конгруенції.

§ 16. Довжина періоду десяткового дробу.

Якщо дріб не скорочується,і, то його розклад в десятковий періодичний дріб міститьцифр в періоді, кількість цифр предперіоду рівна максимальному із чиселта.

Приклад. Визначити довжину періоду і кількість цифр в предперіоді в розкладі в десятковий дріб дробу .

Так як , то довжина періоду рівна, предперіод містить дві цифри.

Так як ато

Відповідь. Довжина періоду рівна , предперіод міститьцифри.

Завдання. Визначити довжину періоду і кількість цифр в розкладі даного звичайного дробу в десятковий.