§ 4. Прості числа

Натуральне число, відмінне від одиниці, називається простим, якщо воно має тільки два натуральних дільника.

Множина простих чисел нескінченна.

Має місце наступна властивість простого числа: якщо натуральне число не ділиться ні на одне просте, яке не перевищує, то воно просте.

Натуральне число називається складеним, якщо воно має більше двох натуральних дільників.

Будь-яке складене число можна єдиним способом /з точністю до порядку співмножника/ представити у вигляді добутку простих чисел.

Приклад 1.

Знайти всі прості числа на відрізку

Відкинемо числа кратні ,таПеревірку подільності на простікраще виконувати розбиваючи кожного разу числа, які залишаються на зручні доданки:

Простими є числа та.

Приклад 2.

Розкласти на множники

Маємо:

Завдання. Знайти всі прості числа на вказаному відрізку.

Завдання. Розкласти на множники //.

§ 5. Ланцюгові дроби.

Скінченим ланцюговим дробом називається число виду

де

Скорочено ланцюговий дроб записують так:

Числа називаються неповними частками. Щоб перейти від дробудо рівного йому ланцюговому дробу потрібно застосувати до чиселтаалгоритм Евкліда.

Отримаємо

Дроби рівні значенням ланцюгивих дробівназиваються похідними дробами, при цьомуПри переході від ланцюгового дробу до рівного йому звичайного використовують рекурентні формули:

Обчислення зручно проводити по такій схемі:

	-

При знаходженні наближених значень для із вказаною абсолютною похибкою використовують нерівність:

Приклад. Знайти наближене значення дробу /з точністю до /.

Застосовуючи до чисел таалгоритм Евкліда, отримаємо:

Подальші обчислення проводимо по відомій схемі:

	-

Так якто

Завдання. Знайти наближене значення дробу /з точністю до /.

§ 6. Функція Ейлера

Через позначається кількість натуральних чисел, які не перевищують

та взаємно простих з .

При

Приклад. Розв’язати рівняння

Так як , то необхідно розглянути такі випадки:

якщо , топовинно дорівнювати, що не так;

якщо , то

якщо , тоа це можливо лише при

Відповідь:

Завдання. Розв’язати рівняння.

де тапрості та

де тарізні прості .

/у вправах - просте/

§ 7. Основні властивості конгруенцій.

Знаходження остачі від ділення.

Цілі числа іназиваються конгруентними за модулем, якщо при діленні чиселінаотримуються рівні остачі. Якщо числаіконгруентні за модулем, то пишуть

Відношення конгруентності чисел рефлексивне, симетричне і транзитивне.

Справедливі наступні властивості:

Приклад. Знайти остачу від ділення числа на

Потрібно знайти число яке задовільняє умовам

Так як то

Нехай тоді

Так як то

Отже,

Відповідь:

Завдання. Знайти остачу від ділення числа на