Лекция 10 Распределение Максвелла и Больцмана

План лекции

1. Распределение Максвелла

2. Барометрическая формула. Распределение Больцмана

3. Экспериментальное определение числа Авагадро

I Распределение Максвелла.

По МКТ, как бы не изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул массой m_o в газе, находящемся в состоянии равновесия при Т=const, остается постоянной и равной (1). Это объясняется тем, что в газе находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное состояние, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется определенному статистическому закону. Этот закон теоретически выведен Дж. Максвеллом.

Закон Максвелла описывается некоторой функцией f(v), называемой функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные dv, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(v), имеющих скорость, заключенную в этом интервале. Функция f(v) определяет относительное число молекул dN(v)/N, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv, т.е dN(v)/N=f(v)dv. Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел функцию f(v) – закон для распределения молекул идеального газа по скоростям: (2). Вид функции зависит от рода газа и от параметра состояния (температуры).

Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью. (3). Из (3) следует, что при повышении температуры максимум функции распределения молекул по скоростям сместится вправо. Однако площадь, ограниченная кривой, останется неизменной, поэтому при повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям будет растягиваться и понижаться.

Средняя скорость молекулы <v> (средняя арифметическая скорость) определяется: (4).

II Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

Ранее предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, и они были равномерно распределены по объему. Однако молекулы всегда находятся в потенциальном поле тяготения. Тяготение и тепловое движение молекул приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает.

Рассмотрим условия: 1) поле тяготения однородное, 2) температура постоянна, 3) масса всех молекул одинакова. Найдем модули сил: dP=dmg=ρSgdh, F₁=(p+dp)S, F₂=pS, тогда ρSgdh=pS-(p+dp)S или dp= -ρgdh. Воспользуемся уравнением состояния идеального газа pV=(m/M)RT и найдем ρ=m/V=pM/(RT). Подставим или. С изменением высоты отh₁ до h₂ давление изменяется от р₁ до р₂, т.е. ,или(6) – барометрическая формула На поверхности Землиh₁=0 и давление равно нормальному атмосферному р₀, то (6) можно записать: (7). Барометрическую формулу можно преобразовать, если воспользоваться выражением р=nkT: (8), гдеn – концентрация молекул на высоте h, n₀ – на поверхности Земли. Т.к. M=m₀N_A, а R=kN_A, то (9), гдеm₀gh=П – потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, т.е. (10) – распределение Больцмана по внешним потенциальным полям.