§3 Теорема единственности и некоторые следствия из нее

Докажем, что в абсолютной геометрии при данном выборе единичного отрезка единственное отображениеl:LR₊, удовлетворяющееL1-L3. Обозначим АВ, СД,…- отрезкиАВ,СД,…-их длины в выбранной единице измерения.

Теорема (единственность длины в абсолютной геометрии).Если выбран единичный отрезок PQ, то существует не более одного отображения l:LR₊, удовлетворяющего трем аксиомам измерения отрезков.

Для доказательства понадобятся три простые леммы, доказательство которых вы разберете самостоятельно.

Лемма 1Пусть установлено измерение отрезков с единицей измерения PQ. Если точки А₀, А₁, А_2, …, А_n расположены так, что А₀-А₁-А₂, А₁-А₂-А₃,…, А_n-2- А_n-1-Аn и А₀А₁ = А₁А₂ = … = А_n-1Аn = РQ, то А₀А_n =n.

Лемма 2 Пусть установлено измерение отрезков. Если АВ<СД, то АВ<СD .

Лемма 3Пусть установлено измерение отрезков. Если точка O - середина отрезка АВ, то А0=0В=АВ

Доказательство теоремы (от противного) Пустьl:LR₊иl^/:LR₊удовлетворяетL1-L3.l(PQ)=l^/(PQ)=1(1)

Т.к.lиl^/-различные отображения, тоотрезок АВ т. чтоl(АВ)=а,l^/(АВ)=bи аb. Пустьb>а. На луче АВ отложим последовательно отрезки АА₁, А₁А₂,…А_n-₁А_n, причемnвыберем так чтобы А-В-Аn. А_n-1принадлежит отрезку АВ, т.е. А_n-1может совпадать с В. По аксиоме Архимеда такое n-$, тогда по лемме 1.

l(AA_n-1)=l^/(AA_n-1)=n-1 (2)

A A_n-1 B

l(AA_n)=l^/(AA_n)=n (3)

A B В не может совпадать с А_n-1, т.к отрезок один, а измерения разные. Это противоречит тому, что а¹b. Значит А_n-1-В-А_nÞАА_n-1<АВ<АА_nl(AA_n-1)<l(AB)<l(AA_n) или

n-1<a<n n-1<в<n Þв-а<1. Пусть Р₁середина отрезка А_n-1А_nтогда из L2 и L3Þl(AP₁)=l(AA_n-1)+l(A_n-1P₁)=n-1+1/2=n-1/2 Аналогично получаем l^/(AP₁)=n-1/2. Снова получаем, что Р₁не совпадает с В. Либо А_n-1-В-Р₁, либо Р₁-В-А_n. В первом случае получаемAA_n-1<AB<AP₁,n-1<a<n-1/2 иn-1<b<n-1/2. Во втором случае:AP₁<AB<AA_n, иn-1/2<a<n,n-1/2<b<n. В обоих случаяхb-a<1/2. Продолжая, получимb-a<1/2^k, и этот процесс никогда не остановится в силу условияab. Значитb-a=0 и, поэтому l и l^/совпадают. Ч.т.д.

Теорема 2 .Каково бы ни было вещественное число а>0, при данном выборе единичного отрезка$отрезок, длина которого равна а. (без доказательства)

С помощью этой Тh можно ввести систему координат на прямой, т.е. ввести координаты значит:

Следствие 1 В теориях содержащих абсолютную геометрию можно установить измерение отрезков с произвольно выбранным единичным отрезком. При этом установленное измерение является единственным.

Следствие 2 .В теорияхÁ(åр)Á(åк) при данном выборе единичного отрезка результат процесса измерения отрезков совпадает с тем, который следует из аксиом меры, а вÁ(åw) из W3.

§4. Многоугольник и его характеристика (плоский)

Напомним несколько определений.

Опр. 1.Ломаная называетсяпростой, если смежные звенья не лежат на одной прямой и не смежные звенья не имеют общих точек. Если концы ломаной А₁А₂…А_nА₁и А_nсовпадают, то она называетсязамкнутой: в этом случае звеня А_n-1А_nи А₁А₂тоже являются смежными. Простая замкнутая ломанная разделяет множество всех точек плоскости не принадлежащих ломаной, на два подмножества, одно из которых называетсявнутреннейобластью, а другое - внешней.

Опр. 2.Объединение простой замкнутой ломаной и ее внутренней области называетсяпростым многоугольником,а сама эта ломанная называется его границей.

Пусть F- многоугольник, А и В - точки на его границе. Соединим точки А и В простой ломаной L, все точки которой, кроме А и В, лежат внутри многоугольника, тогда получим два новых многоугольника F₁и F₂: F₁ÇF₂=L, F=F₁ÈF₂.

Опр. 3.Многоугольник F в этом случае будем называть суммой многоугольников F₁и F₂и записывать F=F₁+F₂ (в отличи от объединения).

Опр. 4.Многоугольник F назовемориентированным, если указан порядок обхода его вершин, обозначаем=. (Каждый простой многоугольник гомеоморфен двумерной клетке.)

Опр. 5.Пусть F=F₁+F₂. Ориентированный многоугольникбудем называть суммой ориентированных многоугольникови, если ориентации,,согласованы, т.е. общей стороне приписывается противоположное направление обхода в каждом многоугольнике.

Обозначим через М- множество всех многоугольников евклидовой плоскости s.единичный вектор^s. Пустьи– векторы //s. Смешанное произведение (,,) обозначим через(оно определяется без площади). В направляющем пространстве плоскостиsвыберем базис (), так чтобы=1, т.е. чтобы он был ориентирован положительно. В базисе () векторы=(а₁,а₂),(в₁,в₂). В=(а₁,а₂,0)(в₁,в₂, 0)=(0,0,1) тогда

Свойство 1^=(,,)==.

Следствие =0

Свойство 2^

Свойство 3^если,,, то(+)=+и (+)=+: по свойствам смешанного произведения.

Пусть - ориентированный n-угольник, О, положим,i=1,…,n.

Опр. 6.Число(1)

Называется характеристикой многоугольника .

Если в системе координат ОвершиныА_i(x_i,y_i), то (1)

Запишется в виде (2)

Ch 1Характеристика многоугольникане зависит от выбора т. О на плоскости.

Доказательство : Пусть О^/- другая точка плоскости.- характеристика многоугольника относительно этой точки. Тогда обозначимпо Опр.6.

A_i

ноподставляем это в, после несложных преобразований (Пояснить), с учетом свойства 2^ и свойства 3^получим, что=. Что и требовалось доказать.

O

O^/

Ch 2Если, тои(без доказательства)

Сh 3Если- произвольный многоугольник, то, и значит.

Доказательствосамостоятельно.

Ch 4Любой многоугольник можно ориентировать так, чтобы его характеристика была положительной.

ДоказательствоИзменив ориентацию многоугольника на противоположную и заменив нумерацию:и т. д. из (1) получим :по свойству 2^все слагаемые поменяли знак , а абсолютная величина не изменилась из Ch 3 получаем ч.т.д.