Перестановки без повторений

Формулу для числа перестановок без повторений можно вывести на основе правила произведения. Первый из n элементов можно выбрать n способами. Останется n - 1 элементов. Следовательно, второй элемент можно выбрать n - 1 способами, третий – n - 2 способами и так далее до последнего элемента, который выбирается единственным способом. Таким образом:

Р_n = n (n - 1)(n - 2)- ... • 3•2•1 = n!

Перестановки с повторениями

Число перестановок из n элементов равно n!, если все n элементов различны. Однако в данном случае n₁! перестановок неразличимы. Неразличимы и n₂! перестановок и т. д. Следовательно:

Это окончательная формула для определения числа размещений из n элементов по m без повторений.

.

Размещения с повторениями

Для нахождения числа размещений с повторениями можно воспользоваться правилом произведения. Если множество содержит n элементов, то первый элемент можно выбрать n способами, второй - m способами и т. д. В результате получаем

,

где символ используется для обозначения числа размещений изn элементов по m с повторениями.

Сочетания же отличаются одно от другого только элементами. Если число разделить на m!, то получим формулу для нахождения числа сочетаний из n элементов по m:

.

На основании этой формулы можно получить следующие простые тождества

Числа Фибоначчи

Последовательность чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …каждый член которой является суммой двух предыдущих является числами Фибоначчи.

В общем виде имеем: F₀ = 0;F₁ = 1;F₂ = 1;F_n+2 =F_n+1 +F_n;

Упражнения для выполнения:

1. Записать со знаком факториала: 1234456.

2. Записать с использованием знака факториала: 1234578910.

3. Упростить:

4. В урне пять шаров с номерами 1, 2, 3, 4, 5. Вынимают один шар и записывают его номер. Шар возвращают в урну и наугад снова выбирают один шар и номер его записывают справа от первой цифры. Получится двухразрядное число. Сколько таких чисел возможно?

5. В тарелке лежат 6 яблок и 4 груши. Сколькими способами можно выбрать один плод?

6. Пусть даны множества:

Р1 = {1,2, 4,7, 9}; Р2 ={1,4,5,6,8}.

Сколько элементов во множестве P₁Р₂?

7. Из 100 студентов английский язык знают 28 человек, немецкий - 30, французский - 42, английский и немецкий - 8, английский и французский - 10, немецкий и французский - 5, все три языка знают 3 человека. Сколько студентов не знают ни одного иностранного языка?

8. Имеется 12 ролей. Четыре артиста могут играть любую роль, и им предлагается выбор. Сколькими способами можно распределить роли между ними?

9. Сколько можно образовать четырехразрядных чисел, используя только цифры 3, 7, 8, 9?

10. Дано множество букв: А = {а, б, в, г, д, е}. Сколько двух- и трехбуквенных слов можно составить из этих букв?

Контрольные задания для СРС

Назовите формулы нахождения размещений, сочетаний, перестановок.

Приведите примеры комбинаторных задач.

Практическая работа 8 Теория графов

Цель работы: Ознакомиться с основными понятиями и определениями графа, способами задания графов и видами графов.

Порядок выполнения работы:

Практическая работа рассчитана на 2 часа аудиторных занятий, включающих в себя следующее:

1. Изучить:

- Основные понятия и определения. Понятие графа.

- Способы задания графов. Виды графов.

- Смежность, инцидентность.

2. Решить упражнения к данному разделу. Выполнить каждый пункт упражнения согласно варианту. Вариант определяется как сумма двух последних цифр зачётной книжки, если количество заданий в пункте упражнения меньше, чем полученная цифра, то эта цифра делится пополам (берётся её целая часть).

3. Оформить отчет о проделанной работе в соответствии с требованиями.

4. Проработать контрольные задания СРС.

Требования к отчету:

Отчет по практической работе распечатывается в виде твердой копии и состоит из следующих пунктов:

Вариант индивидуального задания;

Результаты полученных решений заданий;

Ответы на контрольные задания СРС.

Методические указания

  Граф Gзадается множеством точек или вершин х₁x₂,..., х_n (которое обозначается черезX) и множеством линий или реберa₁, а₂,..., а_m(которое обозначается символом А), соединяющих между собой все или часть этих точек. Таким образом, графGполностью задается (и обозначается) парой (X, А).

Если ребра из множества А ориентированы, что обычно показывается стрелкой, то они называются дугами, и граф с такими ребрами называется ориентированным графом. Если ребра не имеют ориентации, то граф называется неориентированным.В случае когда G= (X, А) является ориентированным графом и мы хотим пренебречь направленностью дуг из множества А, то неориентированный граф, соответствующийG, будем обозначать какG= (X, А).

В этой книге, когда дуга обозначается упорядоченной парой, состоящей из начальной и конечной вершин (т. е. двумя концевыми вершинами дуги), ее направление предполагается заданным от первой вершины ко второй. Другое, употребляемое чаще описание ориентированного графа Gсостоит в задании множества вершинXи соответствия Г, которое показывает, как между собой связаны вершины. Соответствие Г называется отображением множестваXвX, а граф в этом случае обозначается паройG= (X, Г).

 

 

а) Ориентированный граф; б) неориентированный граф; в) смешанный граф.

 

В случае неориентированного графа или графа, содержащего и дуги, и неориентированные ребра, предполагается, что соответствие Г задает такой эквивалентный ориентированный граф, который получается из исходного графа заменой каждого неориентированного ребра двумя противоположно направленными дугами, соединяющими те же самые вершины.

Для алгебраического задания графов используются матри­цы смежности и инцидентности.

Матрица смежности A = (a_ij) определяется одинаково для ориентиро­ванного и неориентированного графов. Это квадратная матрица порядкаn, гдеn - число вершин, у которой

a_ij=

Матрица смежности полностью задает граф.

Матрицей инцидентности B = (b_ij) ориентированного графа называет­ся прямоугольная матрица (n ´ m), где n – число вершин,m – число ребер, у которой

b_i=

Для неориентированного графа матрица инцидентности B задается следующим образом:

b_i=

Матрица инцидентности, также, как и матрица смежности, полностью задает граф.

Матрицы смежности и инцидентности удобны для задания графов на ЭВМ.

Упражнения для выполнения:

1. Задача. Дан ориентированный граф G0= (X, R) рис. Найти множество достижимости и множество контрдостижимости вершины Х2. Выяснить какими свойствами обладает бинарное отношениеR. Построить матрицу смежности и матрицу инцидентности орграфаG0.

2. Дан неориентированный граф G = (X, U) рис. Занумеруйте вершины графа и определите степени всех его вершин. Нарисуйте какой-либо остовный подграф графа G. Занумеруйте рёбра графа и запишите его матрицу инцидентности.

Контрольные задания для СРС

1. Перечислите все возможные способы задания графов.

2. Что характеризует сумма элементов столбца матрицы смежности неориентированного графа?

3. Как по матрице смежности определить число ребер неориентиро­ванного графа?

4. Как по матрице инцидентности, не рисуя граф, определить его матрицу смежности?