Порождающая и проверочная матрицы

Пусть Сдвоичный линейный(n, k, d_min) код. Так какС естьk-мерное подпространство, то оно имеет базис, например, (v₀,v₁,...,v_k-1) такой, что любое кодовое словоvСможет быть записано как линейная комбинация элементов этого базиса:

v=u₀v₀+u₁v₁ + … + u_k-1v_k-1,

где u_i{0, 1}, 0i<k. Уравнение (7.11) может быть записано в матричной форме черезпорождающую матрицу Gивектор-сообщение u=(и₀, и₁,...,и_k-1):,

где

Так как Сявляетсяk-мерным векторным пространством вV₂, то существует (n-к)-мерноедуальное пространство {dual space) C^, которое порождается строками матрицыН, называемойпроверочной матрицей {parity-check matrix), такой, чтоGH^T=0, где черезН^Tобозначена транспонированная матрицаН. Заметим, в частности, что любое кодовое словоvС удовлетворяет условию

, уравнение является фундаментальным длядекодирования линейных кодов.

Линейный код С^, который генерируется матрицейН, является двоичным линейным (п, п–k,)кодом, который называют обычнодуальным кодуС.

Если кодирование должно быть систематическим, то произвольная порождающая матрица Gлинейного блокового(n, k, d_min) кодаС может быть преобразована ксистематической форме G_sys(иначе, к канонической форме) с помощью элементарных операций и перестановок столбцов матрицы. МатрицаG_sysсостоит из двух подматриц:k xк единичной матрицы, обозначаемойI_k, иk х(п -k) проверочной подматрицыР.Таким образом,

,

где

)

Так как GH^T= 0, то отсюда следует, что систематическая форма проверочной матрицы имеет вид

.

Упражнения для выполнения:

1. Организовать передачу кодовой комбинации 1100 с использованием кода Хемминга. Число проверочных разрядов n-k=3. В коде Хемминга они разместятся на первом a1, втором a2, на четвертом a4 местах.

2. Организовать передачу кодовой комбинации 1011 с использованием кода Хемминга. Число проверочных разрядов r=3. Кодовая комбинация имеет вид a1a2 1 a4 0 1 1

3. Организовать передачу кода 01001010 с использованием кода Хемминга.

4. Организовать передачу кода X=10101010 с использованием кода Хемминга.

5. Запишем совокупность комбинаций, получающуюся циклическим сдвигом комбинации 001011

Контрольные задания для СРС

Дайте определение расстояния Хэмминга.

Опишите процесс матричного кодирования.

Сформулируйте теорему о корректирующей способности кодов.

Практическая работа 7 Элементы комбинаторики

Цель работы: Ознакомиться с размещения и сочетания, с перестановкой и подстановкой, разбиением.

Порядок выполнения работы:

Практическая работа рассчитана на 1 час аудиторных занятий, включающих в себя следующее:

1. Изучить:

- Размещения и сочетания.

- Перестановки и подстановки. Разбиения

- Формула включений и исключений.

2. Решить упражнения к данному разделу. Выполнить каждый пункт упражнения согласно варианту. Вариант определяется как сумма двух последних цифр зачётной книжки, если количество заданий в пункте упражнения меньше, чем полученная цифра, то эта цифра делится пополам (берётся её целая часть).

3. Оформить отчет о проделанной работе в соответствии с требованиями.

4. Проработать контрольные задания СРС.

Требования к отчету:

Отчет по практической работе распечатывается в виде твердой копии и состоит из следующих пунктов:

Вариант индивидуального задания;

Результаты полученных решений заданий;

Ответы на контрольные задания СРС.

Методические указания

Комбинаторика– это область дискретной математики, которая занимается исследованием дискретных конечных математических структур. Например, набор формул для решения комбинаторных задач.

Факториал - это функция, определенная на множестве целых положительных чисел и представляющая собой произведение всех натуральных чисел от 1 до n, где каждое число встречается точно один раз.

Обозначается факториал n!:

n! = 1*2*3*4*...*(n-1)*n.

Функцию n! можно записать в виде n! = (n - 1)! n.

Пример: Записать со знаком факториала: 1234456.

Это произведение чисел натурального ряда, но число 4 в нем встречается два раза. Если одну четверку удалить, то останутся числа натурального ряда без повторов. Их произведение можно представить в виде 6!, следовательно:

1234456 = 46!

В общем случае: если один элемент множества А₁ можно выбрать А₁ способами, элемент множества А₂-А₂ способами и так далее до множества А_n, один элемент которого можно выбрать А_n способами, то выбрать все n элементов в заданном порядке можно N способами:

N=А₁А₂…А_n