Практическая работа 2.

Соответствия, отображения, функции. Взаимнооднозначные соответствия и мощности множеств. Теорема Кантора. Элементы теории нечетких множеств (2 час)

Цель работы: Ознакомиться с взаимнооднозначными соответствиями и мощности множеств. Рассмотреть Теорему Кантора. Элементы теории нечетких множеств

Порядок выполнения работы:

Практическая работа рассчитана на 2 часа аудиторных занятий, включающих в себя следующее:

1. Изучить:

- Взаимнооднозначные соответствия и мощности множеств.

- Счетные множества, теоремы о счетных множествах.

- Множества мощности континуума. Теорема Кантора.

- Способы задания нечетких множеств.

- Операции над нечеткими множествами.

2. Решить упражнения к разделу «Нечеткие множества». Выполнить каждый пункт упражнения согласно варианту. Вариант определяется как сумма двух последних цифр зачётной книжки, если количество заданий в пункте упражнения меньше, чем полученная цифра, то эта цифра делится пополам (берётся её целая часть).

3. Оформить отчет о проделанной работе в соответствии с требованиями.

4. Проработать контрольные задания СРС.

Требования к отчету:

Отчет по практической работе распечатывается в виде твердой копии и состоит из следующих пунктов:

Вариант индивидуального задания;

Результаты полученных решений заданий;

Ответы на контрольные задания СРС.

Методические указания

Отношения соответствия.

В общем случае между элементами множеств А и В могут быть четыре вида соответствия в зависимости от того, один или несколько элементов множества А соответствуют элементу множества В и один или несколько элементов множества В ставятся в соответствие элементу А:

1. Взаимно однозначное соответствие, когда каждому элементу ставится в соответствие единственный элементи когда каждому элементусоответствует только один элемент.

2. Одно-многозначное соответствие, когда каждому элементу ставится в соответствие несколько (более одного) элементов множества В, но каждому элементусоответствует только один элемент.

3. Много-однозначное соответствие, когда для каждого элемента существует только один элемент, но каждому элементу множества В соответствует более одного элемента множества А.

4. Много-многозначное соответствие, когда каждому элементу соответствует более одного элемента множества В и каждому элементусоответствует также более одного элемента множества А.

Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называется счетным.

Мощность счетногомножества обозначается символомчитается: алеф нуль. Алеф первая буква финикийского (древнесемитского) алфавита.

Кардинальное число конечного множества А обозначается |A|. Это обозначение будем использовать и в случае бесконечных множеств. Например, если Е – счетное множество, то |E| =.

При ведем некоторые теоремы о счетных множествах.

Теорема 1.Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Теорема 2.Всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно.

Теорема 3.Множество всех целых чисел счетно.

Теорема 4.Объединение счетного множества В счетно.

Теорема 5.Объединение конечного множества счетных множеств счетно.

Теорема 6.Декартово произведение двух счетных множеств А и В счетно.

Теорема 7.Объединение счетного множества счетных множествA,B,C… счетно.

Теорема 8.множество всех рациональных чисел счетно. Рациональными называют все положительные и отрицательные дроби вида, где P и q – натуральные числа. К рациональным относятся все целые положительные и отрицательные числа, а также нуль.

Теорема 9.множество всех алгебраических чисел счетно.

Несчетные множества.

Если А - конечное множество, то |A|<|B(A)|, то есть булеан всякого конечного множества А содержит больше элементов , чем множество А, т.к.

Всякое бесконечное множество также имеет подмножества и можно говорить о мощности его булеана.

Множество всех двоичных чисел бесконечной длины, представляется кардинальным числом

Теорема. Мощность булеана бесконечного множества Е превышает мощность множества Е. Это очень важная теорема. Если Е – счетное множество, то согласно приведенной теореме

Множество В(Е) несчетно и его мощность равна мощности континуума (continuum– в переводе с латинского - непрерывное). Примером континуума может служить множество точек отрезка.

Несчетным является и множество всех действительных чисел в интервале . Для доказательства этого сначала предположим, что все действительные числа можно пронумеровать. Запишем одна под другой бесконечные десятичные дроби:

…

Получим матрицу, содержащую четное множество строк, в каждой из которых бесконечное число десятичных цифр. Допустим, что в матрице нет не одной пары равных между собой чисел. Все ли действительные числа окажутся в матрице? Нет, не все. Чтобы убедится в этом воспользуемся диагональным методом, разработанным Г. Кантором, и найдем число, которое соответствует матрице, т.е. оказалось незанумерованным. Суть метода Г. Кантора применительно к данному случаю состоит в следующем. Если в первом числе первая после запятой цифра (цифра ) не равна, например, 3, то в искомое число после запятой записываем цифру 3. Если же=3, то записываем, допустим 2. Переходя ко второму числу матрицы. Если, то записываем на втором месте искомого числа цифру 3. Если, то записываем число 2. Перейдя к третьему числу, записываем искомое число 3, еслии т.д. Очевидно что получившееся число отсутствует в списке, так как оно отличается от первого числа после запятой цифрой, от второго числа отличается цифрой от третьего – третьей и т.д. Таким образом полученное число отсутствует в списке, но принадлежит множеству действительных чисел интервала.

Полученное число не является единственным отсутствующим в списке. Достаточно вместо цифры 3 и 2 взять какие-нибудь другие и мы получим еще одно число. Даже если найденные числа включит в общий список, то и в расширенном списке будут находится не занумерованные числа.

Так как мощность булеана В(Е) равна мощности множества всех действительных чисел интервала , то эти множества эквивалентны. Они являются несчетными и оба характеризуются кардинальным числом. Такие множества условно называют-множествами.

Мощность континуума – не самая большая мощность среди бесконечных множеств. Что бы убедится в этом воспользуемся двоичными числами, так же как и в случае с счетными множествами. Поставим в соответствие каждому элементу -множества двоичный разряд. Если единица в числе обозначает вхождение элемента в подмножество, а нуль – отсутствие элемента в данном подмножестве, то каждому двоичному числу будет соответствовать некоторое подмножество-множества. Мощность множества таких подмножеств обозначается буквой, очевидно, что

Откуда следует что мощность булеана -множества превышает мощность-множества.

Точно так же можно утверждать, что

То есть мощность -множества превышает мощность булеана-множества. Далее по аналогии получаем :

,,,…,,…

Откуда следует, что множества с наибольшей мощностью не существует.

В завершение подраздела приведем одну теорему о множествах мощности континуума: объединение множества мощности континуума и счетного множества имеет мощность континуума.

Под нечётким множеством A понимается совокупность

, где Х — универсальное множество, а — функция принадлежности (характеристическая функция), характеризующая степень принадлежности элементанечёткому множеству А .

Функция принимает значения в некотором вполне упорядоченном множествеМ. Множество М называют множеством принадлежностей, часто в качестве М выбирается отрезок . Если, то нечёткое множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество.

Упражнения для выполнения:

Упражнение 1

1. Найдите │R│, еслиRопределено следующим образом:xделитy(без остатка);

x A;y B, где

A= {1, 2, 3, 4, 5};B= {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. (26)

2. Найдите │R│, еслиRна паре множеств (26) определено следующим образом:

x<y; гдеx A; y B

3. Определите │aRb│ для множеств (26), еслиR– это отношение:a A- нечетное число;b B.

4. Определите │aRb│ для множеств (26), еслиR– это отношение:a A- простое число;b АВ – четное или простое число.

5. Найдите для множеств (26), еслиR– это отношение:a=b; гдеa A,b B.

6. Найдите │R│, еслиRопределено следующим образом:x В;y А, где

A= {1, 2, 3, 4, 5};B= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Упражнение 2

1. Укажите транзитивные отношения:

равно; меньше на 5; больше или равно; быть южнее;

не равно; быть врагом; быть другом; быть логарифмом.

2. Укажите интранзитивные отношения в упр. 1.

3. Укажите нетранзитивные отношения в упр. 1.

Упражнение 3

1. Укажите рефлексивные отношения:

1) Таня – сестра Зины;

2) a ≤ b, где a и b – натуральные числа;

3) a ≠ b, где a и b – натуральные числа;

4) треугольник a подобен треугольнику b;

5) площадь круга a больше площади круга b;

6) Иван написал письмо Петру;

7) выражения a и b имеют одно и то же значение в множестве числовых выражений.

2. Укажите симметричные отношения в упр. 1.

3. Укажите рефлексивные отношения:

1) a похож на b (в множестве людей);

2) в книге a в два раза больше страниц, чем в книге b;

3) фраза a имеет тот же смысл, что и фраза b;

4) Петров и Сидоров имеют одинаковый рост;

5) дорога a имеет ту же длину, что и дорога b;

6) Смирнов и Васильев живут на третьем этаже;

7) поезд a идет быстрее поезда b.

4. Укажите отношения, являющиеся одновременно транзитивными и рефлексивными:

1) число a равно числу b;

2) Иванов и Петров служат в одном полку;

3) a и b равновеликие треугольники;

4) число a не больше числа b;

5) тетрадь a дороже тетради b;

6) Афанасьев слушает Васильева;

7) Иванов дал книгу Петрову.

5. Укажите отношения эквивалентности:

1) Иванов задал вопрос Петрову;

2) Книга a имеет такую же цену, что и книга b;

3) Смирнов попрощался с Федоровым;

4) Саша позвал в гости Игоря;

5) Павлов и Васильев смотрят один и тот же фильм;

6) Высота горы a равна высоте горы b;

7) Федоров и Савин поступили в ТУСУР в одном и том же году.

6. Укажите отношения строгого порядка:

1) Иванов выше Сидорова;

2) Лена – сестра Наташи;

3) Отрезок a короче отрезка b;

4) Отрезок a длиннее отрезка b на 2 см;

5) Васильев знает Петрова;

6) Иванов живет этажом выше Соколова;

7) Спортсмен Семенов бежит непосредственно за Николаевым.

7. Укажите отношения нестрогого порядка:

1) автомобиль a едет быстрее автомобиля b;

2) число a не меньше числа b, где a,b {1,2,…,50};

3) число a и b не равны числу 6, где a и b – натуральные числа;

4) число a без остатка делится на число b, где a,b {1,2,3,4,5,6};

5) a>5 и b>5, где a,b {1,2,…,8};

6) Петров и Иванов – друзья;

7) Угол a не больше угла β.