Приклад виконання самостійної роботи

Приклад 1. Методом простої ітерації знайти наближене значення кореня рівняння з точністю 0,001.

Розв’язок

Знайдемо інтервал ізоляції дійсного кореня рівняння. Подамо дане рівняння у вигляді і побудуємо графік функціїі. Абсциса точки М перетину цих графіків знаходиться на проміжку [1, 2], тому за початкове значенняможна взяти(рис. 3.4).

Рисунок 3.4 – До прикладу 1

Запишемо вхідне рівняння у вигляді . Тут,, тобтона проміжку [1, 2] і тому метод ітерацій можна застосовувати. Знайдемо перше наближене значення:

.

Знайдемо друге і наступні наближення:

;

;

;

Таким чином, шуканий корінь .

Приклад 2. Методом хорд знайти позитивний корінь рівняння з точністю до 0,01.

Розв’язок

Позитивний корінь поміщений у проміжку (1; 1,7), оскільки , а.

Знайдемо перше наближене значення кореня за формулою:

.

Так як , то знову застосуємо метод хорд до проміжку (1,588; 1,7):

; .

Знайдемо третє наближене значення:

; .

Знайдемо четверте наближене значення:

; .

Отже, з точністю до 0,01 шуканий корінь дорівнює 1,64.

Приклад 3. Розв’язати приклад 2 методом Ньютона (дотичних).

Розв’язок

Тут ,,. Так якіпримають один і той же самий знак, а самеі, то скористуємося формулою, де. Тоді

.

Застосуємо знову метод дотичних. Маємо де,; значить

.

Аналогічним чином знаходимо ;, тобто

.

Отже, шуканий корінь з точністю до 0,01 дорівнює 0,64.

Приклад 4. Обчислити корені рівняння засобами пакету MathCAD з точністю.

Розв’язок

Зауваження. Операція – називається векторизацією – поелементна робота зі значеннями матриці.

Приклад 5. Обчислити корені рівняння засобами пакета MathCAD.

Розв’язок

Для графічного відділення коренів рівняння зручно окремо побудувати графіки функцій та. З графіка видно, що рівняння має один корінь, який належить відрізку [1; 1.5].

Приклад 6. Обчислити корені рівняння на інтервалізасобами пакета MathCAD.

Розв’язок

Під час розв’язання цієї задачі можливі два підходи: а) послідовне визначення (із графіка) початкового наближеного значення кореня й уточнення його функцією root; б) автоматизоване обчислювання значень коренів із допомогою введеної функції користувача.

Приклад 7. Обчислити корінь рівняння на інтервалі[0, 3] з точністю методом поділу навпіл та Ньютона засобами пакетаMathCAD.

Розв’язок

Приклад 8. Обчислити корінь рівнянняна інтервалі [0,1; 2] методом хорд засобами пакета MathCAD.

Розв’язок

Приклад 9. Демонстрація розв’язку системи нелінійних рівнянь з використанням обчислювального блока пакета MathCAD.

Розв’язок

а) за допомогою обчислювального блока Given-Find:

б) за допомогою оптимізаційного блока Given-Minerr:

Не завжди можна отримати розв’язання системи нелінійних рівнянь за допомогою обчислювального блока Given-Find. У цьому випадку застосовують оптимізаційний блок Given-Minerr, який дозволяє здійснити вибір методу пошуку розв’язання системи нелінійних рівнянь з таких як: Квазі-Ньютона, Левенберга-Маркварда, З’єднаного ґрадієнта. Вибір методу здійснюють натисканням правою клавішею миші на команді „Minerr”. На рисунку продемонстровано вибір методу Левенберга-Маркварда. За замовчуванням оптимізаційний блок розв’язує запропоновану систему нелінійних рівнянь методом З’єднаного ґрадієнта.

Демонстрація розв’язку системи нелінійних рівнянь за допомогою оптимізаційного блока Given-Minerr різними методами:

Квазі-Ньютона

З’єднаного градієнта

Левенберга-Маркварда

Зважаючи на отримані результати, необхідно проводити розрахунок різними методами розв’язання систем нелінійних рівнянь і проводити перевірку отриманих коренів. У результаті вибирати той метод, який дає найменшу похибку обчислення.

Приклад 10. Демонстрація розв’язку системи нелінійних рівнянь

методом Ньютона з точністю засобами пакета MathCAD.

Розв’язок

Видно, що є розв’язком системи, що розв’язують.

Матриця Якобі задається функцією користувача, кожний елемент якої обчислюють так: з транспонованого (позначка "Т") векторавиділяється (позначка "<n>") стовбець з номером n залежно від номера стовпця матриці Якобі. За допомогою функціїtr вибирають перший елемент n-го стовпця транспонованого вектора , для якого й обчислюють частинну похідну за вказаною змінною.