ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«СЕВЕРО-ЗАПАДНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра информатики и прикладной математики

МАТЕМАТИКА

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

для выполнения контрольной и лабораторных работ

Институты: все Укрупненные группы специальностей и направлений подготовки высшего

профессионального образования: 080000 – Экономика и управление

140000 – Энергетика, энергетическое машиностроение и электротехника

150000 – Металлургия, машиностроение и материалообработка

190000 – Транспортные средства

200000 – Приборостроение и оптотехника

210000 – Электронная техника, радиотехника и связь

220000 – Автоматика и управление

230000 – Информатика и вычислительная техника

240000 – Химия и биотехнологии

260000 – Технология продовольственных продуктов и потребительских товаров

280000 – Безопасность жизнедеятельности, природообустройство и защита окружающей среды

Санкт-Петербург Издательство СЗТУ

2009

Предисловие

Рабочая тетрадь предназначена для самостоятельной работы студентов второго курса по изучению одного из разделов математики – численных методов. В тетради приводится краткий конспект тех численных методов, которые вошли в контрольную работу – методов интерполяции, численного вычисления определенного интеграла, приближенного решения дифференциального уравнения методом Эйлера, численного решения алгебраических уравнений (методом касательных, половинного деления). Подробно описывается решение типовых примеров, которые студенты должны выполнить в контрольной работе, представлена методика реализации их решения в Excel. Приведены условия репетиционных примеров, которые рекомендуется выполнить студентам, прежде, чем приступать к решению контрольной работы.

Целесообразно сначала разобраться с решением демонстрационных примеров, затем реализовать их расчет в Excel по образцу, представленному в тетради, внимательно ознакомиться с таблицами, представленными в режиме формул, так как они помогут лучше понять алгоритм вычислений. Для экономии времени даются шаблоны таблиц, в которых целесообразно выполнять вычисления. Проверить правильность решения репетиционных примеров помогут ответы, приведенные в конце рабочей тетради.

Рабочая тетрадь позволит с наименьшими затратами времени освоить представленный материал, успешно выполнить контрольную и лабораторные работы.

1. Интерполяция функций с помощью формул Ньютона

1.1. Постановка задачи

Пусть некоторая функция y = f(x) задана таблицей, т.е. для (n + 1)-го значения аргумента x известны (n + 1) значения функции y = f(x) (табл.1.1).

Задача интерполяции заключается в замене функции y = f(x), аналитическое выражение которой неизвестно, другой функцией F(x), аналитическое выражение которой известно. Это дает возможность вычислять значения функции f(x) в точках, отличных от значений аргументов, фиксированных в таблице. При этом необходимо найти такое аналитическое выражение заданной функции f(x), т. е. функцию F(x), значения которой будут совпадать с табличными значениями функции y = f(x) для заданных значений аргументов x0, x1, …, xn:

F(xn) = f(xn) = yn.

Функция F(x) называется интерполирующей функцией, точки x0, x1, …, xn – узлами интерполяции (узловыми точками), а задача нахождения функции F(x) – задачей интерполяции. Величина h = xk - xk-1 называется шагом интерполяции. Шаг интерполяции может быть постоянным или переменным.

В некоторых случаях бывает необходимо строить функцию F(x) для функции y = f(x), аналитическое выражение которой известно, но является слишком сложным и неудобным для дальнейшего использования.

Геометрически задача интерполирования означает построение кривой, проходящей через точки плоскости с координатами (xi, yi) (рис. 1.1). Чаще всего в качестве интерполирующей функции F(x) используются многочлены

В этом случае задача интерполяции состоит в подборе многочлена n- й степени Pn(x), значения которого в узлах интерполяции совпадают со значениями интерполируемой функции y = f(x):

yn = f(xn) = Pn(xn)

и сводится к вычислению коэффициентов a0, a1, …, an интерполяционного многочлена. Доказано, что существует единственный интерполяционный многочлен n-ой степени, удовлетворяющий условиям (1.3).

Рис. 1.1

1.2. Конечные разности

Чаще всего для интерполяции функций с равноотстоящими узлами используются интерполяционные многочлены Ньютона. Для их записи используют конечные разности функций.

Пусть для значений аргументов x0, x1, …, xn заданы значения функции y

= f(x): y0 = f(x0), y1 = f(x1), …, yn = f(xn), причем x1 - x0 = x2 - x1=…= xn – xn-1 = h (табл. 1.2).

Конечной разностью первого порядка называется разность между значе-

ниями функции в соседних узлах интерполяции: yi = yi+1 - yi, i = 0, 1, …, n-1, т.е.

y0 = у1 – y0, y1 = у2 – y1,

yn-1 = уn – yn-1.

По первым конечным разностям можно найти конечные разности второго

порядка:

2y0 = у1 – y0 = y2 - 2y1 + y0,

Вычисление конечных разностей удобно выполнять в таблице (табл. 1.3).

Таблица 1.3

Для проверки правильности вычислений конечных разностей удобно использовать их свойство: сумма чисел в каждом столбце разностей равна разности крайних членов предыдущего столбца. Сумма всех разностей первого порядка определяется следующим образом:

Например, для n = 5: ( y1 + y2 + y3 + y4 + y5) – (y0 + y1 + y2 + y3 + y4) = y5 - y0.

Аналогично, для разностей других порядков будем иметь:

i 0

Пример 1.1. Функция y = f(x) задана таблицей (табл. 1.4). Вычислить конечные разности функции y = f(x). Проверить правильность вычислений, используя описанное выше свойство.

Решение. Вычисление конечных разностей и проверку правильности их вычислений удобно выполнять в таблице (табл. 1.5).

Таблица 1.5

1.3.Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции

Вычисление значений функции для значений аргументов, лежащих в начале таблицы, удобно проводить, пользуясь первой интерполяционной формулой Ньютона. В этом случае интерполяционный многочлен представляют в виде:

F(x) = Pn(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x –x0)(x – x1) +

+ a3(x –x0)(x- x1)(x-x2) + ... + an(x –x0)(x- x1)(x-x2)…(x –xn-1), (1.9)

при этом неизвестные значения коэффициентов a0, a1, a2, …, an вычисляют по

то есть

После подстановки найденных коэффициентов ai в выражение (1.9), получают первую интерполяционную формулу Ньютона:

Пример 1.1 (продолжение). Используя первую интерполяционную формулу Ньютона, построить интерполяционный многочлен для функции, заданной таблицей (табл. 1.4). Найти значение этой функции для x = 2,5.

Решение. Для функции, заданной табл. 1.4, конечные разности были построены (см. табл. 1.5). Используя ее, построим интерполяционный многочлен по формуле Ньютона (1.12). Так как степень интерполяционного многочлена определяется порядком конечных разностей, интерполяционный многочлен для рассматриваемого примера будет иметь вид (1.13).

Для вычисления разностей x-xi введем в табл. 1.5 дополнительный столбец

(табл. 1.5-а).

Таблица 1.5-а

Данные вычисления целесообразно выполнять в таблице (табл. 1.6). В этой таблице целесообразно производить и вычисление значения функции для задан-

ного значения x.

Таблица 1.6

Интерполяционный многочлен для рассматриваемого примера будет иметь

вид:

Подставив в него значения коэффициентов a0, a1, .., a5, вычисленные в табл.1.4, получим:

F(x) = P5(x) = 8,5 + 2(x-0) - 0,25(x-0)(x-1) + 0,08(x-0)(x-1)(x-2) – -0,04(x-0)(x-1)(x-2)(x-3)+0,02(x-0)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4).

Используя его, вычислим значение f(x) для x = 2,5:

F(2,5) = P5(2,5) = 8,5 + 2(2,5-0) - 0,25(2,5-0)(2,5-1) + 0,08(2,5-0)(2,5-1)(2,5-2) – -0,04(2,5-0)(2,5-1)(2,5-2)(2,5-3)+0,02(2,5-0)(2,5-1)(2,5-2)(2,5-3)(2,5-4) = 12,78.

Таким образом, значение функции y = f(x) для x = 2,5, найденное с помощью интерполяционного многочлена, f(2,5) = 12,78.

Вычисления, представленные в табл. 1.6, удобно выполнять в Excel (рис. 1.2, 1.2-а).

В верхнюю часть таблицы следует ввести исходные данные: значение шага

интерполяции h, который по условию равен 1, значения аргумента x и соответст-

вующие им значения функции f(x) (табл. 1.4), а также значение аргумента x = 2,5, для которого требуется вычислить значение заданной функции, с помощью полученного интерполяционного многочлена.

Реализация вычисления конечных разностей выполняется, как показано в табл. 1.3. Значения конечных разностей и значение f(x0), которые будут использованы в вычислениях по формуле (1.13), выделены в таблице полужирным начертанием. Правильность полученных конечных разностей подтверждают результаты вычислений, выполненные по формуле (1.8) (в ячейках D11 и С12, Е11 и D12

и т.д.).

Коэффициенты интерполяционной формулы (1.13) вычисляют, используя

Для этого в блоке ячеек В16:В20 реализовано вычисление промежуточных значений коэффициентов таким образом, чтобы каждый последующий элемент

обходимости легко настраивать полученную таблицу на решение задач любой размерности.

В блоке ячеек D16:D20 вычисляются значения коэффициентов интерполяционного многочлена a0, a1, …, a5 (1.14), путем умножения значений f(x0), и конечных разностей, полученных в блоке С5: H5 на соответствующие им значения промежуточных коэффициентов (В16:В20).

В соответствии с (1.13), каждый коэффициент a1, a2, a3, a4, a5 соответственно требуется умножить на (x –x0), (x –x0)(x- x1), (x –x0)(x- x1)(x-x2),

(x –x0)(x- x1)(x-x2)(x –x3) (x-x4). В блоке ячеек I5: I10 вычисляются значения разностей (x-xi), которые затем используются для вычисления их произведений в блоке Н16:Н20, причем каждый последующий элемент получается из предыдущего. В блоке ячеек I15: I20 выполняется вычисление значений членов интерполяционного многочлена, суммирование которых позволяет получить значение интерполяционного многочлена для x = 2,5.

Режим вычислений Рис. 1.2

Режим формул Рис. 1.2-а

Пример 1.2. Функция y = f(x) задана таблицей (табл. 1.7). Построить интерполяционный многочлен, используя первую формулу Ньютона. Найти значение функции для x = 0,6. Решение выполните самостоятельно. При решении используйте формы таблиц.

Решение. Для функции, заданной табл. 1.7, вычислим конечные разности (форма. 1.1). Для вычисления разностей x-xi в форму введен дополнительный столбец. Вычисление коэффициентов интерполяционного многочлена

F(x) = P5(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) + a3(x-x0)(x-x1)(x-x2) + + a4(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3) + a4(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4),

выполним в таблице по форме 1.2.

Форма 1.1

0 0 5,4

1 1 7,3

2 2 9,4

3 3 10,5

4 4 11,8

5 5 12,9

∑

yn-y0

Пример 1.1 (продолжение). Используя вторую интерполяционную формулу Ньютона, построить интерполяционный многочлен для функции, заданной таблицей (табл. 1.4). Найти значение этой функции для x = 4,5.

Решение. Для функции, заданной табл. 1.4, конечные разности были вычислены в табл. 1.5. Для вычисления разностей x-xi в табл. 1.5 был введен дополнительный столбец (табл. 1.5-а). Выделим значения конечных разностей (табл. 1.5- б), которые будут использованы во второй интерполяционной формуле Ньютона (1.15). Вычисление коэффициентов многочлена и его значение для x = 4,5 выполним в таблице (табл. 1.8).