2.2. Метод трапеций
Для получения формулы трапеций интервал интегрирования [a, b] разбивается на n подынтервалов равной длины (шагов) точками: x0 = a, x1, x2, … , xi, xi+1, … , xn = b так, что
xi+1 |
- xi = h = b a |
, i = 1, 2, …, n. |
|
n |
|
На каждом отрезке (xi, |
xi+1) дугу Xi Xi+1 графика подынтегральной функции |
|
y = f(x) заменяют стягивающей ее хордой (рис. 2.5) и вычисляют площади трапеций xiXi Xi+1xi+1, высота которых равна h, а основания определяются значением функции f(xi), f(xi+1).
Рис. 2.5
Так как площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной
на высоту, интеграл приближенно равен сумме площадей всех полученных трапеций:
|
|
n |
f (x ) f (x |
) |
|
|
|
|
||||
|
I |
|
|
i |
i 1 |
|
(xi 1 |
xi ) = |
||||
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
f (x0 ) f (x1 ) |
h |
|
f (x1 ) f (x2 ) |
h |
... |
|
f (xn 1 ) f (xn ) |
h = |
|||
|
|
|
2 |
|||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
=h2 [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2)+…+ + 2f(xn-1) + f(xn)]=
=h2 [f(xa) + 2f(x1) + 2f(x2)+…+ + 2f(xn-1) + f(xb)]=
= h |
n 1 |
|
[ f(xa) + f(xb) + 2 f (xi ) ]. |
(2.7) |
|
2 |
i 1 |
|
Таким образом, формула трапеций имеет вид:
b |
h |
|
n 1 |
|
|
I = f (x)dx ≈ |
|
. (2.8) |
|||
f (a) f (b) 2 f (xi ) |
|||||
a |
2 |
|
i |
|
|
Точность интегрирования для этого метода приближенно равняется ε ≈ h2.
Пример 2.1 (продолжение). Пользуясь формулой трапеций, вычислить
1 |
(3x2 4x)dx при h = 0,2. |
|
|
0 |
|
|
|
|
Решение. Вычисление интеграла 1 |
(3x2 |
4x)dx методом трапеций выполним |
0
в таблице (табл. 2.2).
Таблица 2.2
∑ = -0,68 -1,12 -1,32 -1,28 = -4,4 I = 0,1·[(0-1)-2·4,4] = -0,98
Реализация вычисления 1 (3x2 4x)dx методом трапеций в Excel показана на
0
рис. 2.6, 2,6 – а.
Режим решения Рис. 2.6
Режим показа формул Рис. 2.6 - а
Разбивая интервал интегрирования на большее число отрезков, например на 10, можно получить более точное решение (рис. 2.7).
Рис. 2.7
∑ = -0,37 -0,68 -0,93 -1,12 -1,25 -1,32 -1,33 -1,28 -1,17 = -9,45
Пример 2.2 (продолжение). С помощью формулы трапеций вычислить