таблицу по форме 1.5.
Форма 1.5
2. Приближенное интегрирование функций
Обычный прием приближенного интегрирования состоит в том, что подынтегральную функцию f(x) на рассматриваемом отрезке [a, b] заменяют полиномом F(x), а затем приближенно полагают, что
b |
f (x)dx = b F (x)dx . |
(2.1) |
a |
a |
|
Основу алгоритмов вычисления определенного интеграла
I = b f (x)dx
a
составляет геометрический смысл его значения как площади криволинейной трапеции, ограниченной подынтегральной кривой f(x), осью абсцисс и ординатами f(a) и f(b). Для вычисления площади интервал интегрирования [a, b] разбивают на подынтервалы и строят на них или прямоугольники, или трапеции, или параболы, вычисляют площади этих фигур, а затем суммируют. Наиболее удобным оказывается разбиение на подынтервалы равной длины h, которые называются шагом интегрирования.
Широко известными методами, используемыми для приближенных расчетов, являются методы прямоугольников, трапеций, парабол.
2.1. Метод прямоугольников
Для получения формулы прямоугольников интервал интегрирования [a, b]
разбивается на n подынтервалов равной длины (шагов) точками: |
x0 = a, x1, x2, |
|
… , xi, xi+1, … , xn = b так, что |
|
|
xi+1 - xi = h = b a |
, i = 1, 2, …, n. |
(2.2) |
n |
|
|
На этих подынтервалах строятся прямоугольники, высота их определяется значением функции f(x) в какой – либо точке подынтервала.
Если f(xi) определяется для левой границы каждого подынтервала (рис. 2.1), то формула прямоугольников имеет следующий вид:
b
I1 = f (x)dx ≈ |
n 1 |
|
b a f (xi ) |
(2.3) |
|
a |
n i 0 |
|
и называется формулой левых прямоугольников.
Если f(xi) определяется для правой границы каждого подынтервала (рис. 2.2),
то
I2 = b |
f (x)dx ≈ |
b a n |
f (xi ) |
(2.4) |
a |
|
n i 1 |
|
|
и называется формулой правых прямоугольников.
Рис. 2.1 |
Рис. 2.2 |
Если функция монотонна на отрезке [a, b], то в одном случае получается значение интеграла I с недостатком I1, а в другом – с избытком I2. Более точное значение I получают при усреднении величин:
I = |
I1 |
I2 |
. |
(2.5) |
|
2 |
|||
|
|
|
|
Если f(xi) определяется для середины каждого подынтервала, то формула прямоугольников имеет следующий вид:
I3 = b |
f (x)dx ≈ |
b a n |
f ( |
xi 1 xi |
). |
(2.6) |
|
||||||
a |
|
n i 1 |
2 |
|
|
|
и называется формулой средних прямоугольников.
Точность интегрирования для этих методов приближенно равняется ε ≈ h.
Пример 2.1. С помощью формул левых, правых и средних прямоугольников
вычислить 1 |
(3x2 4x)dx , если h = 0,2. |
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
Точное решение: 1 |
(3x2 |
4x)dx x3 2x2 |
|
10 |
1. |
||
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
h = b a |
→ n = |
b a 1 0 5 . |
|
||||
n |
|
h |
|
0,2 |
|
|
|
Вычисление интеграла |
1 |
(3x2 4x)dx методом прямоугольников выполним в |
|||||
0
таблице (табл. 2.1).
Таблица 2.1
∑ = 0-0,68–1,12–1,32-1,28 = -4,4 I = 0,2· (-0,44) = -0,88
I = |
I1 I2 |
|
0,88 1,08 |
0,98 . |
|
2 |
2 |
||||
|
|
|
Реализация вычисления интеграла 1 (3x2 4x)dx методом прямоугольни-
0
ков в Excel показана на рис. 2.3, 2.3 – а.
Режим решения Рис. 2.3
Режим показа формул Рис. 2.3 - а
Разбивая интервал интегрирования на большее число отрезков, например, на 10, можно получить более точное решение (рис. 2.4).
Режим решения Рис. 2.4
Пример 2.2. С помощью формул левых, правых и средних прямоугольников
вычислить 1 |
(x2 |
1)dx , если n = 5. |
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Точное решение: 1 |
(x2 1)dx |
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
h = |
b a |
|
1 0 |
0,2. Вычисление интеграла |
1 |
(x2 |
1)dx методом прямо- |
|
|
n |
|
|
5 |
|
0 |
|
|
угольников представим в таблице (по форме 2.1).
Форма 2.1