F(x) = P5(x) = a0 + a1(x-x5) + a2(x-x5)(x-x4) + a3(x-x5)(x-x4)(x-x3) + + a4(x-x5)(x-x4)(x-x3)(x-x2) + a4(x-x5)(x-x4)(x-x3)(x-x2)(x-x1)

·(x-x5)(x-x4)(x-x3)(x-x2) ·(x-x5)(x-x4)(x-x3)(x-x2)(x-x1)

F(6) = P5(6) =

Значение функции y = f(x) для x = 6, найденное с помощью интерполяционного многочлена (1.9), F(6) = .

1.5. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Интерполяционный многочлен Лагранжа является наиболее общей формулой интерполирования. Он пригоден для интерполирования функций, как с постоянным, так и с переменным шагом. Другими словами, интерполяционный многочлен Лагранжа может использоваться для интерполирования функций как с равноотстоящими, так и с не равноотстоящими узлами интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа строится в виде:

Pn(x) = a0(x-x1)(x-x2)…(x-xn) + a1(x- x0)(x-x2)…(x-xn) + …

+ak(x- x0)(x-x1)…(x-xk-1) (x-xk+1) …(x- xn) + … + an(x- x0)(x-x1)…(x-xn-1). (1.18)

Определим коэффициенты многочлена (1.18).

Пусть x = x0, тогда

……………………

и интерполяционная формула Лагранжа будет иметь вид:

Если функция задана в двух узлах, интерполяция будет осуществляться интерполяционным многочленом Лагранжа первой степени:

Пример 1.3. Функция f(x) задана таблицей (табл. 1.9):

Таблица 1.9

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа и с его помощью вычислить значения функции для значений аргумента x, равных 2, 3, 4.

Решение. Из условия известно, что x0 = 1, x1 = 5. Найдем коэффициенты многочлена a0 и a1.

Используя формулу (1.3), получим интерполяционный многочлен

P1(x) =-1(x-5) + 3(x-1).

Вычислим значения функции для x = 2, 3, 4:

P1(2) = -1(2-5) + 3(2-1) = 6.

P1(3) = -1(3-5) + 3(3-1) = 8.

P1(4) = -1(4-5) + 3(4-1) = 10.

В результате получим (табл. 1.10):

Вычисления удобно производить в Excel (рис. 1.4, 1.4 – а).

Режим решения Рис. 1.4

Режим формул

Рис. 1.4 – а

Если функция задана в трех узлах, интерполяция будет осуществляться интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени:

Пример 1.4. Функция f(x) задана таблицей (табл. 1.11).

Таблица 1.11

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа и с его помощью вычислить значения функции для аргумента x, принимающего значения 2, 3, 4, 6.

Решение. Найдем коэффициенты интерполяционного многочлена Лагранжа a0, a1, a2.

Получим интерполяционный многочлен:

P2(x) = 16 (x 5)(x 7) 32 (x 1)(x 7) 52 (x 1)(x 5).

Используя его, вычислим значение функции для x = 2, 3, 4, 6.

Вычисления удобно выполнять в Excel (рис. 1.5, 1.5 - а).

Режим решения Рис. 1.5

Режим формул Рис. 1.5 - а

Обратите внимание: значения функции в рассматриваемых примерах совпадают в общих узлах интерполяции; степень многочлена (наличие еще одного узла во втором примере) весьма существенно влияет на значение функции между узлами интерполяции (табл. 1.10, 1.12); появление еще одного узла интерполяции заставляет снова выполнять вычисления всех коэффициентов.

Преимущество формул Ньютона по сравнению с формулой Лагранжа состоит в том, что добавление новых узлов интерполяции не приведет к проведению расчетов заново.

Пример 1.5. Для функции, заданной таблицей, построить интерполяционный многочлен Лагранжа и с его помощью вычислить значение функции для x = 2.

Таблица 1.13

Решение выполните самостоятельно. Для удобства решения используйте