2. Распределение Вейбула.

Это распределение эмпирическое, получено в результате исследования широкого класса распределений сроков службы. Опыт эксплуатации очень многих электронных приборов и значительного количества электромеханической аппаратуры показывает, что для них характерны три вида зависимостей интенсивности отказов от времени ., соответствующих трем периодам жизни этих устройств.

Указанные три вида зависимостей интенсивности отказов от времени можно получить, используя для вероятностного описания случайной наработки до отказа двухпараметрическое распределение Вейбулла Согласно этому распределению плотность вероятности момента отказа

где  - параметр формы (определяется подбором в результате обработки экспериментальных данных,  > 0);  - параметр масштаба,

.

Интенсивность отказов определяется по выражению

(3.1)

Вероятность безотказной работы

(3.2)

а средняя наработки до отказа

(3.3)

Отметим, что при параметре = 1 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное, а при = 2 - в распределение Рэлея.

При 1 интенсивность отказов монотонно убывает (период приработки), а при монотонно возрастает (период износа), см. рис. 3.1. Следовательно, путем подбора параметра  можно получить, на каждом из трех участков, такую теоретическую кривую  (t), которая достаточно близко совпадает с экспериментальной кривой, и тогда расчет требуемых показателей надежности можно производить на основе известной закономерности.

Распределение Вейбулла достаточно близко подходит для ряда механических объектов (к примеру, шарикоподшипников), оно может быть использовано при ускоренных испытаниях объектов в форсированном режиме

3.Экспоненциальное распределение. Используется чаще других распределений, так как типично для сложных объектов, состоящих из многих элементов с распределениями наработки. При постоянстве интенсивности отказов дает простые расчетные формулы. Как было отмечено экспоненциальное распределение вероятности безотказной работы является частным случаем распределения Вейбулла, когда параметр формы  = 1. Это распределение однопараметрическое, то есть для записи расчетного выражения достаточно одного параметра  = const . Для этого закона верно и обратное утверждение: если интенсивность отказов постоянна, то вероятность безотказной работы как функция времени подчиняется экспоненциальному закону:

(3.4)

Среднее время безотказной работы при экспоненциальном законе распределения интервала безотказной работы выражается формулой:

(3.5)

Заменив в выражении величину  величиной 1 / Т₁,

получим . (3.6)

Таким образом, зная среднее время безотказной работы Т₁ (или постоянную интенсивность отказов  ), можно в случае экспоненциального распределения найти вероятность безотказной работы для интервала времени от момента включения объекта до любого заданного момента t.

4. Распределение Рэлея

Плотность вероятности в законе Рэлея (см. рис. 3.4) имеет следующий вид



где  - параметр распределения Рэлея (равен моде этого распределения [13]). Его не нужно смешивать со среднеквадратическим отклонением:

.

Интенсивность отказов равна:

(3.7)

Характерным признаком распределения Рэлея является прямая линия графика (t), начинающаяся с начала координат.

Вероятность безотказной работы объекта в этом случае определится по выражению

(3.8)

Средняя наработка до отказа

(3.9)

5.Усеченное нормальное распределение. Распределение, полученное из нормального (гауссовского), ограничением положительными значениями.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида

где m_x, _x - соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины х.

При анализе надежности электроустановок в виде случайной величины, кроме времени, часто выступают значения тока, электрического напряжения и других аргументов. Нормальный закон - это двухпараметрический закон, для записи которого нужно знать m_x и _x.

Вероятность безотказной работы определяется по формуле

(3.10)

а интенсивность отказов - по формуле

(3.11)

На рис. 3.5 изображены кривые (t), Р(t) и (t) для случая _t m_t, характерного для элементов, используемых в системах автоматического управления [3].

4. Гамма-распределение. Распределение Пуассона и гамма распределение рассматриваются во взаимосвязи, поскольку они оба характеризуют одинаковые процессы. Только в первом случае в качестве переменной рассматриваются отказы, а во втором – время. Для гамма - распределения в – среднее время между отказами;

а - число отказов; Г(а) – гамма-функция, равная , когдаа –1 – положительное число.

Для обоснованного выбора типа практического распределения наработки до отказа необходимо большое количество отказов с объяснением физических процессов, происходящих в объектах перед отказом.

В высоконадежных элементах электроустановок, во время эксплуатации или испытаний на надежность, отказывает лишь незначительная часть первоначально имеющихся объектов. Поэтому значение числовых характеристик, найденное в результате обработки опытных данных, сильно зависит от типа предполагаемого распределения наработки до отказа. Как показано в при различных законах наработки до отказа, значения средней наработки до отказа, вычисленные по одним и тем же исходным данным, могут отличаться в сотни раз. Поэтому вопросу выбора теоретической модели распределения наработки до отказа необходимо уделять особое внимание с соответствующим доказательством приближения теоретического и экспериментального распределений.