Основные формулы - следствия из аксиом о вероятности

Из аксиом о вероятности следует:

1 .   Р( V ) = 0 ;

2 .   Р(А) = 1 - Р(А) ;  

3 . Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)  - формула "сложения вероятностей", справедливая для любых событий ;  

4 .   Если А ≥ В , то Р(В) ≥ Р(А) ;

5 .   Если все элементарные события равновероятны и их число конечно и равно n, а событие А включает в себя m элементарных событий, то Р(А) = m/n ;

Следствие 5 из аксиом о вероятности исключительно важное, оно наиболее часто используется при решении задач и его некоторые называют "классическим определением вероятности". Однако, это ни в коем случае не является определением понятия вероятность, т.к. в качестве определения оно логически противоречиво и область его применения ограничена частным случаем конечного числа равновероятных элементарных событий. (т.е. само определение ссылается на определяемое понятие

Условная вероятность. Независимые события. Формулы полной вероятности и вероятности гипотез

Если события А и В принадлежат одному полю событий и вероятность В не равна 0, то условной вероятностью А при условии В называется отношение вероятности пересечения А и В к вероятности В.

: Пусть в области, представленной на рисунке, задана геометрическая вероятность. Событие А - треугольник выше диагонали, событие В - нижняя половина области. Р(А) = 1/2 , Р(В) = 1/2 , Р(АВ) = 1/8 , P(A/B) = 1/4 .

В квадрате задана геометрическая вероятность

Если P(A/B) = P(A), то события А и В называются независимыми . Для независимых событий из следует:

Р(АВ) = Р(А)×Р(В)                 

Это формула "умножения вероятностей", справедливая для независимых событий

Пример независимых событий A и В

Видно, что АВ составляет такую же долю В, какую А составляет от всего пространства событий.

Формула полной вероятности

Пусть событие А может произойти только совместно с одним из несовместных между собой событий H_i (рисунок ниже), тогда

Вертикальные линии разделяют события H

Р(А) = Р( АН₁ ) + Р( АН₂ ) + Р( АН₃ ) или в общем случае P(A) = Σ P( AH_i ) . Отсюда, используя , получаем формулу полной вероятности:

 

 : Магазин закупает оптом половину всех компьютеров у фирмы LLL, треть - у фирмы МММ и 1/6 - у фирмы NNN. У фирмы LLL 10% компьютеров с браком, у фирмы МММ брак составляет 5%, а у фирмы NNN - 15%. Какова вероятность того, что наудачу выбранный компьютер в этом магазине бракованный ? Для решения используем 4.3, положив: Р(Н₁) = 1/2, Р(Н₂) = 1/3, Р(Н₃) = 1/6, Р(А/Н₁) = 0.1, Р(А/Н₂) = 0.05, Р(А/Н₃) = 0.15.

Формула вероятности гипотез

В предыдущем примере можно поставить и другой вопрос. Обнаружен компьютер с браком, какова вероятность, что он получен от фирмы NNN ? Т.е. зная вероятности Р(Н_i), которые называются априорные вероятности гипотез Н_i, и условные вероятности Р(А/Н_i) события А при каждой гипотезе, мы хотим найти апостериорную вероятность какой-либо гипотезы при условии, что событие А произошло: Р(Н_i/ А). Формула получается из 4.1, если вместо А подставить туда Н_i, а вместо В - А.

Заменив в 1а знаменатель формулой полной вероятности 2а, имеем окончательно:

.

Эксперимент, результат которого существенно изменяет априорные вероятности гипотез, называют информативным. Перед постановкой сложного и (или) дорогостоящего эксперимента всегда имеет смысл оценить его информативность на основе имеющихся данных об априорных и условных вероятностях.