8. В чем состоит геометрический смысл полного дифференциала?

4.5. Основы функционального анализа

При изучении данной темы Вам предстоит ознакомиться со следующими вопросами:

Нормированное пространство.

Метрическое пространство.

Топологическое пространство.

После изучения темы Вам следует ответить на вопросы для самопроверки.

Если Вы будете испытывать затруднения в ответах, обратитесь к [3], глава 3, с. 58-64 и к глоссарию – краткому словарю основных терминов и положений.

Вопросы для самопроверки по теме 4.5

1.Сформулируйте определение нормы элемента линейного пространства.

2.Дайте определение нормированного пространства.

3.Приведите примеры норм в евклидовом векторном пространстве En .

4.Дайте определение пространства C a,b .

5.Дайте определение метрики и метрического пространства.

6.Всякое ли нормированное пространство является метрическим?

7.Приведите примеры метрических пространств.

8.Дайте определение топологического пространства.

9.Дайте определение окрестности точки в топологическом пространстве.

10.Всякое ли метрическое пространство является топологическим?

11.Сформулируйте аксиому отделимости Хаусдорфа.

Заключение

Изложенный в опорном конспекте лекций учебный материал послужит основой для изучения не только последующих разделов математики, но и остальных технических дисциплин.

3.3. УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Полное изложение материала, представленного кратко в опорном конспекте, содержится в учебных пособиях [1], [2], [3].

3.4. ГЛОССАРИЙ

Алгебраическая форма комплексного числа (a;b) – выражение a bi , где число а – вещественная часть комплексного числа, а число b - мнимая часть этого числа.

Алгебраические действия – действия сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с рациональным показателем.

касательной, проведенной к ней в любой точке этого промежутка. Горизонтальной асимптотой называется асимптота, задаваемая

уравнением y b .

Граница множества: Множество всех граничных точек множества n называетсяего границей и обозначается .

Достаточное условие наличия экстремума в критической точке x0 функции

f x состоит в перемене знака производной f ' x при переходе через точку x0 .

Дробная рациональная функция – частное от деления двух целых рациональных функций.

Иррациональная функция – явная алгебраическая функция, для получения значений которой нужно проделать над аргументом и действие извлечения корня.

Комплексная плоскость – плоскость, изображающая множество комплексных чисел.

последних случаях функция непрерывна в соответствующей точке. Максимум функции f (M ) : Значение функции в точке максимума.

Метод интегрирования по частям удобно применять для некоторых типов интегралов; формула интегрирования по частям имеет вид udv uv vdu .

Типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:

Метод непосредственного интегрирования состоит в тождественном преобразовании

подынтегральной функции, в использовании свойств неопределенных интегралов и таблицы

основных интегралов.

Метод подстановки (замены переменной) заключается в том, что с помощью специальным образом подобранной замены переменной интегрирования данное подынтегральное выражение преобразуется к другому подынтегральному выражению, которое является более простым в смысле интегрирования.

Минимум функции f (M ) : Значение функции в точке минимума.

Многочленом Тейлора для функции f x называется многочлен

где f x определена на некотором интервале, содержащем точку a , и имеет там все производные до n 1 -го порядка включительно.

a;b c;d ac bd;ad bc .

Множество ограниченное: Множество n называется ограниченным,

если существует n -мерный шар Rr (0) радиуса r с центром в нулевой точке 0(0,0,...,0) такой, что Rr (0). В противном случае множество называется

неограниченным.

Множество открытое: Множество n называется открытым, если все еготочкиявляютсявнутренними.

Множество связное: Множество n называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащейэтомумножеству.

котороеполучаетсяврезультатеприсоединенияк открытой области D всей ее границы:

D D D.

Область открытая: Множество D n называется открытой областью, если оноа) открытоеиб) связное.

Окрестность точки: Окрестностью точки M0 n называетсялюбоеоткрытое связноемножествоточек n , содержащеесамуточку M 0 .

Основная теорема алгебры – всякий многочлен Pn (x) степени n 0 имеет,

по крайней мере, один корень – вещественный или комплексный.

Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид:

где c a, x .

Остаточным членом называется разность значений данной функции и ее многочлена Тейлора: Rn x f x Pn x .

Первообразной функцией от функции f x на некотором промежутке

конечный или бесконечный.

Предел функции: Если для любого наперед заданного положительного числаможно указать такое положительное число ( ), зависящее от , что из

условия M R (M0 ) n (M M0, если M 0 - конечная точка) следует условие f (M ) R ( A) 1, то A называется пределом функции f (M ) в точке M 0 (или

число, пределбесконечный илинесобственный, если A равно или .

(или пространством n измерений), а каждая система n чисел (x1, x2 ,..., xn ) - точкой этого пространства.

предельного значения a получается неопределенность соответствующего типа.

Расстояние: Расстояние (M0, M ) между двумя точками M0 (x10, x20,..., xn0 )

и M (x1, x2 ,..., xn ) n -мерного пространства определяется с помощью формулы

Свойство 2. Постоянный множитель k подынтегральной функции можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е.

kf (x)dx k f (x)dx .

Свойство 3. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е.

f1(x) f2 (x) fn (x) dx f1(x)dx fn (x)dx.

Свойство 4 (инвариантность формул интегрирования). Всякая формула интегрирования справедлива независимо от того, является переменная интегрирования независимой переменной или любой допустимой непрерывно дифференцируемой функцией независимой переменной, т.е. если справедливо равенство

многочлена при x c , т.е. Pn (c) .

Теоремами о средних значениях называются теоремы Ферма, Ролля, Коши, а также формула Лагранжа.

Точка внутренняя: Точка M n называется внутренней точкой множестваn, еслиона принадлежит вместеснекоторойсвоей - окрестностью.

Точка граничная: Точка M n называется граничной точкой множества

n, если любая - окрестность точки M содержит как точки, принадлежащие, так и точки, не принадлежащие . Сама граничная точка может принадлежать или не

называется общая граничная точка промежутков выпуклости вверх и выпуклости вниз этой функции.

модулем комплексного числа z , а угол - аргументом этого числа.

Угловой точкой называется точка острого экстремума функции f x , в

которой f ' x не определена.

Формула Муавра – формула для возведения комплексного числа в целую

b

f x dx b a .

a

Формулой конечных приращений или формулой Лагранжа называется формула

f b f a f ' c b a .

Формулой Маклорена называется частный случай формулы Тейлора при a 0 :

образом, оставаясь в области определения функции.

2) Функция f (M ) называется непрерывной вточке M0 , есливэтойточкеее

полное приращение стремится кнулюпристремлениикнулюприращенийаргументов, вызвавшихэтоприращение.

Функция неявная: Функция y аргумента x называется неявной, если она задана уравнением вида F(x, y) 0, связывающим x и y, но не разрешенным относительно y. Неявная функция двух переменных z z(x, y) определяется

уравнением F(x, y, z) 0 .

Функция сложная: Функция нескольких переменных называется сложной, если сами аргументы - функции одной или несколькихпеременных.

Целая рациональная функция – алгебраический многочлен (полином).

Экстремумами или экстремальными значениями функции называются максимумы и минимумы этой функции.

Явная алгебраическая функция – функция, значения которой получаются в результате конечного числа алгебраических действий над аргументом и различными постоянными.

3.5. ТЕХНИЧЕСКИЕ И ПРОГРАММНЫЕ СРЕДСТВА ОБЕСПЕЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Видеолекции по курсу размещены на канале UTUBE.

3.6. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРОВЕДЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Практические задания для студентов очной формы обучения проводятся в аудиторном виде. Для студентов очно-заочной и заочной форм обучения часть занятий проводится в аудиторной форме, часть – с помощью дистанционных форм обучения на учебном сайте СЗТУ. Методические указания к проведению практических занятий изложены в [4].