Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Северо-Западный государственный заочный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1_kolebaniya-i-volnyi--umknovoe1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.02.2016

Размер:

2.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Средства обеспечения освоения дисциплины (ресурсы Internet)

11.http://db.informika/ru/spe/prog/prog/zip

12.http://burma.tsu.tula/

13.http://www.gpntb/ru/

14.http://www.stup.ac.ru/

15.http://www.uw.edu.pl

16.http://www.physicon.ru/

17.http://www.physics.ru/

18.http://elib.nwpi.ru/

3.2.ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ

ВВЕДЕНИЕ

В данном разделе рассматривается особый вид движения – колебания, т.е. движение, повторяющееся во времени. Мы часто наблюдаем в окружающей среде подобные периодические или почти периодические процессы: восход и заход Солнца, движение маятника часов, переменный электрический ток, периодическое изменение уровня воды в заливах и тому подобные. Самая главная отличительная черта колебаний – их многократная повторяемость (или практическая повторяемость) во времени. В процессе изучения данного раздела физики вы увидите, что колебания совершенно различной природы подчиняются одним и тем же закономерностям. Единый подход к изучению колебаний разной физической природы позволяет глубже проанализировать любое конкретное явление, выявить аналогию между совершенно разными по своей природе явлениями, найти общий язык для их описания и, в конечном счёте, почувствовать единство физического мира.

Вы увидите, что колебания могут распространяться в пространстве, т.е. образовывать волну. Волны различной природы также подчиняются одинаковым закономерностям. Волновые процессы играют очень важную роль в природе, они зачастую определяют перенос энергии от источников. Волны являются исключительно важным процессом для обмена информацией. Звук и свет

есть не что иное, как волновые процессы. Совершенно очевидно, что без волн наша природа, да и сам человек, были бы совершенно иными.

Традиционно изучение колебаний и волн начинают с механических колебаний.

Раздел 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

В разделе 1 изучаются пять тем: 1.1.Основные характеристики колеба-

тельного движения; 1.2.Свободные незатухающие колебания; 1.3.Затухающие колебания; 1.4.Вынужденные колебания; 1.5.Сложение гармонических колебаний.

В конце каждой темы вы должны ответить на поставленные вопросы, а по завершению изучения раздела выполняется тестовое задание.

Максимально возможное число баллов, которое можно получить при работе с материалом данного раздела, равно 20.

Подробное изложение материала раздела представлено в учебном пособии А.Б. Федорцова, В.М. Цаплева “Курс физики. Колебания и волны. Волно-

вая оптика”, а также: [1], c. 255…261, 263…176; [2], c.298 …314.

По материалам раздела выполняются задачи 401…414 из контрольной работы № 4.

Колебательным движением называется такое движение, которое повторяется или практически повторяется через равные промежутки времени.

Колебания разделяют на механические (колебания маятников, струн), электромагнитные (переменный электрический ток) и электромеханические (колебания диффузора динамика).

1.1. Основные характеристики колебательного движения

Система, совершающая колебания, называется колебательной.

Колебания делятся на свободные и вынужденные.

Свободными (или собственными) называются колебания, которые происходят в отсутствие переменных внешних воздействий на колебательную

систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния её устойчивого равновесия.

Вынужденными называются колебания, возникающие в колебательной системе под влиянием периодического внешнего воздействия.

Основными характеристиками колебательного движения являются амплитуда, период и частота.

Максимальное отклонение некоторой физической величины, описывающей колебание от среднего значения, называется амплитудой колебания.

Если амплитуда колебания не меняется с течением времени, то такое колебание называется незатухающим, если – уменьшается, то, естественно, затухающим. Затухание колебаний определяется расходом полной механической энергии колебательной системы на преодоление неконсервативных сил (например, сил трения).

Периодом колебания Т называется время одного полного колебания.

Период в системе СИ измеряется в секундах.

Частотой колебаний ν называется количество колебаний в единицу вре-

мени.

Связь периода с частотой

ν =	1	.	(1.1)

	T

В системе СИ частота измеряется в герцах.

1 Герц (Гц) – это частота таких колебаний, при которых за 1 с совершается одно полное колебание.

1.1.1. Гармонические колебания

Гармонические колебания выделяют в отдельную группу по нескольким причинам: во-первых, любое колебание можно представить как сумму определенных гармонических колебаний, во-вторых, они довольно часто встречаются в природе, в-третьих, законы гармонических колебаний достаточно просты.

Гармоническими колебаниями называются такие колебания, при которых физическая величина, описывающая эти колебания, меняется со временем по закону синуса или косинуса:

ξ = А sin(ωt + ϕ0 ) .

(1.2)

Графически эта зависимость изображена на рис. 1.1.

Видно, что А – это амплитуда коле-

бания. Величина ωt + ϕ0

– называется фа-

зой колебания, t – время, ϕ0 –

начальная

фаза. Величина ω называется цикличе-

ской частотой. С частотой ν и периодом

Т она связана соотношениями:

ω= 2πν =

2π

(1.3)

Рис. 1.1

Фаза и начальная фаза в системе СИ измеряются в радианах, циклическая частота – в рад/с.

Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические

колебания, определяются выражениями:
v =		dξ		= Aωcos(ωt +ϕ0 ) = Aωsin(ωt +ϕ0	+	π) ,	(1.4)

		dt				2
а =	dv		= Aωcos(ωt + ϕ0 ) = Aω2sin(ωt + ϕ0 + π).				(1.5)

	dt

Из (1.4) и (1.5) видно, что скорость материальной точки опережает её ко-

ординату по фазе на π2 , а ускорение – на π.

Вопросы для самопроверки

1.Дайте определение амплитуды, частоты, периода колебаний.

2.Какие колебания называются гармоническими?

1.2. Свободные незатухающие колебания. Пружинный маятник. Математический и физический маятники

Пусть в колебательной системе не действуют неконсервативные силы, а система совершает свободные гармонические колебания. В этом случае колебания будут незатухающими. Отклонение системы из положения равновесия меняется по закону


ξ = Asin(ω + ϕ0 ).				(1.6)
Тогда её скорость и ускорение определяются выражениями:
v =		dξ	= ωAcos(ωt + ϕ0 ) .	(1.7)
		dt

а =	dv		= −ω2 Аsin(ωt + ϕ0 ).	(1.8)

		dt

Согласно второму закону Ньютона сила, вызывающая свободные незатухающие гармонические колебания, будет равна

F = ma = −mω2 Аsin(ωt + ϕ0 ) = −mω2 ξ.

(1.9)

Величина mω2 является постоянной, не зависящей от времени. Обозначим её k. Тогда

F = −kξ.

(1.10)

Таким образом, эта сила обладает двумя свойствами:

1)Величина силы прямопропорциональна смещению системы от центра колебания.

2)Направление силы всегда противоположно направлению смещения, т.е. эта сила всегда направлена к положению равновесия.

Подобная сила носит название “квазиупругой силы”. Это означает, что по своей природе данная сила может быть и не упругой, но подчиняется закону упругих сил (формула 1.10).

1.2.1.Дифференциальное уравнение незатухающих колебаний

Итак, мы получили, что уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний имеет вид:

F = ma = m&ξ& = −mω02ξ,

(1.11)

где &ξ& – вторая производная смещения системы по времени, т.е. ускорение. Точ-

ками над переменной принято обозначать производные по времени: одна точка

– первая производная, две – вторая и т.д. Разделив (1.11) на массу системы m, получим

&ξ&+ω0 ξ = 0 .	(1.12)
Это уравнение носит название дифференциального уравнения свобод-
ных незатухающих гармонических колебаний. Здесь ω0 –	это циклическая

частота свободных колебаний. Её иногда называют частотой собственных колебаний, так как если колебательную систему вывести из состояния равновесия и предоставить самой себе, то она будет совершать колебания именно с часто-

той ω0 =	k	, где m – масса колебательной системы, а k – жесткость (или уп-
	m

ругость) связи, приводящей к возникновению в системе квазиупругой силы. Решениями дифференциального уравнения (1.12) будут выражения типа:

ξ1 = А1 cos(ω0t + ϕ01 ) или ξ2 = А2 sin(ω0t + ϕ02 ).

Величина амплитуды колебаний А1, А2 и их начальная фаза (ϕ01 илиϕ02) определяются условиями колебательного процесса, т.е. начальными и граничными условиями.

Любая система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором.

Рассмотрим примеры систем, в которых реализуются свободные незатухающие гармонические колебания.

M z = mglsin α.

1.2.2. Пружинный маятник

Пружинный маятник – это тело массы m, подвешенное на пружине и совершающее колебание под действием силы упругости.

Положение тела описывается его отклонением х от положения равновесия, т.е. в дан-

ном случае ξ = х. На груз действуют две силы (рис. 1.2): постоянная сила тяжести Fт = mg и сила упругости F = -kx, где k – жесткость пру-

жины.

Рис. 1.2

В этом случае сила, вызывающая колебания, будет на самом деле упругой силой. Груз будет совершать свободные незатухающие гармонические ко-

лебания с частотой ω0 =	k	по закону ξ = Аsin(ω0t + ϕ0 ).
	m

1.2.3. Математический маятник

Математическим маятником называется идеализированная система, представляющая собой материальную точку, подвешенную на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания под действием силы тяжести.

Положение математического маятника однозначно определяется одной ко-

ординатой – углом отклонения нити α от положения равновесия, т.е. от вертикали.

Таким образом, в данном случае ξ = α.

Сила тяжести создает вращательный

момент, проекция которого на ось z равна:

Рис. 1.3

(1.13)

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения, учитывая, что Мz стремится всегда вернуть маятник в положение равновесия:

		I zβ = I z				α = −M z = −mglsin α ,		(1.14)
						&&
где	β = α	– угловое ускорение		маятника. Учитывая, что				нить невесома
	&&
(Iz нити = 0), а для материальной точки Iz = ml 2, получим
		ml	2	&&
		ml		α = −mglsin α,
или		&&			g			(1.15)
		&&
		α + l sin α = 0 .
	При малых отклонениях маятника от вертикали (α ≤ 5°) sinα ≈ α, если
угол ϕ выражен в радианах, и тогда
			&&				g	(1.16)
			&&
		α + l α = 0 .

Это уравнение совпадает по виду с дифференциальным уравнением свободных незатухающих гармонических колебаний. Таким образом, в данном случае сумма силы тяжести и силы натяжения нити играет роль квазиупругой силы, которая приводит к тому, что математический маятник совершает сво-

бодные гармонические колебания с частотой ω0 =			g	. Период колебаний тако-
бодные гармонические колебания с частотой ω0 =			l	. Период колебаний тако-
			l
го маятника равен:
T = 2π	g	,		(1.17)
T = 2π	l	,		(1.17)
	l

аугловое положение маятника будет определяться выражением

α= A cos(ω0t + ϕ0 ).

1.2.4. Физический маятник

Физическим маятником называется тело, совершающее колебание под действием силы тяжести вокруг оси, не проходящей через центр тяжести тела.

Рис. 1.4

Положение физического маятника также определяется одной координатой – углом между вертикалью и перпендикуляром, опущенным из центра масс С тела на ось z, вокруг которого происходят колебания, т.е.

ξ = α.

Аналогично математическому маятнику можно написать:

I z α&& = −M z = −mglsin α, (1.18)

только l - это теперь расстояние от оси вращения z до центра масс тела. При малых углах отклонения:

&&	mgl	α = 0 .	(1.19)
α +	Iz

Видно, что физический маятник совершает свободные незатухающие гармонические колебания. В данном случае циклическая частота таких колебаний будет равна

		ω0 =	mgl		,	(1.20)
		ω0 =			,	(1.20)
			I z
а угол ϕ определяется выражением: α = A cos(ω0t + ϕ0 ).
Величина	Iz	носит название приведенной длины физического маятни-
Величина	ml	носит название приведенной длины физического маятни-
	ml
ка (lпр). Тогда период колебаний физического маятника равен:
		T = 2π	lпр	.		(1.21)
		T = 2π		.		(1.21)
			п

Приведенная длина – это длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.

1.2.5. Энергия свободных незатухающих гармонических колебаний

Пусть материальная точка массы m совершает гармонические колебания согласно уравнению

ξ = Аcos(ω0t + ϕ0 ).

Тогда ее кинетическая Wк и потенциальная Wп энергии равны:

Wк

mυ2

mω0

2 A2

sin 2

(ω0t + ϕ0 ),

(1.22)

W =

kξ2

mω0

2 A2

cos2 (ω

t + ϕ

(1.23)

Легко показать,

сложив (1.22)

(1.23) и

учтя, что

sin2 (ω0t + ϕ0 )+ cos2 (ω0t + ϕ0 )=1, и полная механическая энергия колебательной системы не меняется с течением времени:

W =Wк +Wп =	mω0	2 A2	.	(1.24)
	2

Так и должно быть, поскольку в рассмотренной колебательной системе неконсервативные силы не действуют.

Отметим также, что колебания Wк и Wп смещены по фазе на π2 , т.е. при

свободных незатухающих гармонических колебаниях происходит лишь перераспределение энергии между кинетической и потенциальной составляющими.

Вопросы для самопроверки

1.Какие силы называются упругими и квазиупругими?

2.От чего зависит период колебания математического маятника?

3.Запишите формулу для частоты колебаний пружинного маятника.

1.3. Затухающие колебания

Во всякой реальной колебательной системе действуют неконсервативные силы сопротивления, что приводит к уменьшению полной энергии системы и, следовательно, затуханию свободных колебаний. В простейшем, и вместе с тем

наиболее часто встречающемся, случае сила сопротивления F* пропорциональ-
на скорости системы:
		F* = −r ξ&,					(1.25)
где r – коэффициент сопротивления, а знак минус указывает, что сила сопро-
тивления направлена противоположно скорости, т.е. направлению движения
колебательной системы. В итоге, уравнение второго закона Ньютона в данном
случае имеет вид:
		m&ξ&= kξ − rξ& .					(1.26)
Обозначив 2β = r и ω02	= k , получим дифференциальное уравнение свобод-
m	m
ных затухающих колебаний.
	&&	&	2				(1.27)
	ξ + 2βξ + ω0ξ = 0 .						(1.27)
В случае слабого затухания (β << ω0) решение уравнения (1.27) будет
иметь вид:
	ξ = А0e−βt cos(ωt + α0 ),						(1.28)
			где А0 – амплитуда колебаний в
			начальный		момент	времени,		а
			ω=	ω02 −β2 . Таким образом,				за-
			тухающие колебания происходят с
			частотой отличающейся, хотя и не
			сильно, от частоты свободных не-
			затухающих		колебаний.		График
Рис. 1.5			зависимости		(1.28)	изображен		на
Рис. 1.5			рис. 1.5.
			рис. 1.5.
Полная механическая энергия W колебательной системы в этом случае уже не
сохраняется, а убывает:

W ≈W e−2βt .	(1.29)
0

1.3.1. Логарифмический декремент. Добротность

Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний используют физическую величину, называемую лога-

рифмическим декрементом.

Логарифмическим декрементом называется безразмерная величина λ, равная натуральному логарифму отношения амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и t + T, где T – период колебаний.

	A(t)
λ = ln	A(t +T )=βT .	(1.30)

Иногда затухание колебаний характеризуют не логарифмическим декрементом, а добротностью колебательной системы.

Добротностью колебательной системы называется безразмерная вели-

чина Q, равная произведению 2π на отношение энергии колебаний системы в произвольный момент времени W(t) к убыли этой энергии за один период колебаний:

W (t)
Q = 2πW (t)−W (t +T ).	(1.31)

При слабом затухании, т.е. малых значениях логарифмического декремента:

Q ≈	π	=	π	=	ω0	.	(1.32)
	λ		βT
					2β
			0

Вопросы для самопроверки,

1.По какому закону изменяется амплитуда затухающих колебаний?

2.Запишите и проанализируйте формулу для логарифмического декремента затухания.

3.От чего зависит добротность осциллятора?

1.4. Вынужденные колебания

Убыль полной механической энергии колебательной системы можно восполнить за счет работы внешней силы. Если эта сила периодически меняется со временем, то колебания системы называются вынужденными. Пусть внешняя сила меняется по закону

					Fξ = F0 cosωt .					(1.33)
Тогда, согласно второму закону Ньютона:
			m&ξ&= −kξ − rξ& + F cosωt .							(1.34)
							0
Введем обозначения:	f0	=		F0	, 2β =	r	и ω02 =	k	.

				m		m
				m		m		m
Тогда дифференциальное уравнение вынужденных колебаний будет
иметь вид:
			&&		&	2	ξ = f0 cosωt .			(1.35)
				ξ + 2βξ + ω0			ξ = f0 cosωt .			(1.35)

Решением этого уравнения, т.е. уравнением вынужденных колебаний будет:

ξ = A(ω) cos(ωt + ϕ0 ),						(1.36)
где А(ω) – амплитуда вынужденных колебаний:
A(ω)=		f
	0				,	(1.37)
	(ω02 − ω2 )+ 4β2ω2				,	(1.37)
ϕ = −arctg		2βω		–		(1.38)
ϕ = −arctg		ω2 − ω	2	–		(1.38)
		ω2 − ω
		0

разность фаз между колебаниями системы и колебаниями вынуждающей силы.

1.4.1. Резонанс
		Из (1.37) видно, что ам-
	плитуда вынужденных коле-
	баний зависит от соотношения
	частоты вынуждающей силы и
	собственной частоты колеба-
	ний системы. При их равенст-
	ве	амплитуда	вынужденных
	колебаний возрастет (рис. 1.6),
	причем тем резче, чем меньше
	затухание β. Такое явление
Рис. 1.6	называется резонансом.
Резонанс – это явление резкого увеличения амплитуды вынужденных ко-
лебаний системы при приближении частоты вынуждающей силы к собствен-
ной частоте колебаний системы.

Сявлением резонанса приходится считаться при конструировании машин

иразличных сооружений. Собственная частота колебаний этих устройств ни в коем случае не должна быть близка к частоте возможных внешних воздействий.

Впротивном случае увеличение амплитуды вынужденных колебаний при резонансе может привести к разрушению устройства.

Из формул (1.37) и (1.38) следует, что вынужденные колебания происхо-

дят с частотой вынуждающей силы ω и со сдвигом по фазе относительно коле-

баний силы Fξ (рис. 1.7). При резонансе ω = ω0 этот сдвиг составляет ϕ = π2 , а

при дальнейшем увеличении частоты ω колебания системы и вынуждающей силы происходят в противофазе.

Рис. 1.7

Вопросы для самопроверки

1.Что такое вынужденные колебания?

2.С какой частотой совершаются вынужденные колебания?

3.От чего зависит амплитуда вынужденных колебаний?

4.Что такое резонанс?

1.5. Сложение гармонических колебаний
		Любое колебание можно изобразить в виде
		Любое колебание можно изобразить в виде
		вектора, модуль которого равен амплитуде
		вектора, модуль которого равен амплитуде
		колебания, а начальная фаза определяет его



		направление в начальный момент времени



		(рис. 1.8). Этот вектор вращается с угловой



		скоростью ω против часовой стрелки. Тогда
		скоростью ω против часовой стрелки. Тогда
Рис. 1.8		проекция этого вектора на ось Х дает значе-
Рис. 1.8
		ние физической величины ξ, описывающей
		данное колебание:
	ξ = х = A cos(ωt + ϕ0 ).		(1.39)

1.5.1. Сложение параллельных колебаний

Пусть материальная точка участвует в двух колебательных процессах, происходящих в одинаковом направлении и с одинаковой частотой. Результирующее колебание можно представить вектором, равным сумме векторов каждого колебания в отдельности (рис. 1.9):

ξ1 = х1 = А1 cos(ωt + ϕ01 ),

ξ1 = х2 = А2 cos(ωt + ϕ02 ).

Рис. 1.9

Из построений на рис. 1.9 видно, что амплитуда результирующего колебания определяется из выражения:

	А2 = А2	+ А2			+ 2А А cos(ϕ			02	− ϕ		01	),	(1.40)
	1			2	1	2
а начальная фаза:	tgϕ	0	=	А1 sin ϕ01			+ А2 sin ϕ02				.		(1.41)
				А cosϕ		01	+ А cosϕ			02

					1		2

Вектор A также будет вращаться с круговой частотой ω против часовой стрелки. Таким образом, результат сложения двух гармонических колебаний,

происходящих с частотой ω в одинаковом направлении, это то же гармоническое колебание с той же частотой, амплитуда которого определяется по формуле (1.40), а начальная фаза – по формуле (1.41).

Если частоты складываемых колебаний ω1 и ω2 отличаются, то результи-

рующее колебание уже не будет гармоническим. Однако, если |ω1 - ω2| << ω, то его можно рассматривать как гармоническое, но с медленно и периодически меняющейся амплитудой (рис. 1.10). Такие колебания называют биениями.

Рис. 1.10

1.5.2. Сложение перпендикулярных колебаний

Пусть материальная точка участвует в колебаниях по осям Х и У согласно уравнениям:

	х = a cosωt,	(1.42)
	y = bcos(ωt + α).	(1.42)
	y = bcos(ωt + α).

Уравнения (1.42) можно преобразовать в выражение траектории колеблющейся материальной точки:

x2	+	y2	−	2xy	cosα = sin2	α.	(1.43)
a2		b2
				ab

Это уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно Х и У на угол γ, который является сложной функцией от а, b и α. Рассмотрим частные случаи:

1) α = 0. Тогда

х		у	2	b
	−		= 0 у =		x
а				a
		b

(рис. 1.11)

2) α = π.

Тогда

х		у	2	b
	+		= 0 у = −		x
а				a
		b

(рис. 1.12)

3) α = ±	π	х2	+	у2	=1
	2	а2		b2

Рис. 1.13

Рис. 1.11

Рис. 1.12

Рис. 1.13

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы и относятся как целые числа, то траектории результирующего движения имеют более сложные формы, которые называются фигурами Лиссажу. Одна из этих фи-

гур (ωу : ωх = 3 : 2) показана на рис. 1.14.

Рис. 1.14

Вопросы для самопроверки

1.Какова траектория точки, участвующей одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях?

2.Что такое биения?

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.02.2016879.05 Кб161_el-mash-spets-nazn-lab-rab.pdf
#
16.02.2016952.62 Кб571_elektrodinamika.pdf
#
16.02.20165.12 Mб2551_elektroenergetika-1-ispr.pdf
#
16.02.20162.31 Mб721_elektromehanika.pdf
#
16.02.20162.34 Mб351_fizika_ch-2umk-2.pdf
#
16.02.20162.06 Mб701_kolebaniya-i-volnyi--umknovoe1.pdf
#
16.02.20161.71 Mб361_matematika-ch--1,-2-y-semestr-2009-11-09.pdf
#
16.02.2016366.65 Кб131_praktika-doc.pdf
#
16.02.20161.27 Mб1851_sbornik-kontrolnih-rabot-po-fizike.pdf
#
16.02.20161.09 Mб311_sotsiologiya-svodnyiy-fayl-2010-03-22.pdf
#
16.02.20162.53 Mб251_tekctumk.pdf