2.1. Описание случайных величин

2.1.1. Определение и способы задания случайной величины Одним из основных понятий теории вероятности является понятие случайной величины. Рассмотрим некоторые примеры случайных величин:

1. число попаданий в цель при трех выстрелах.

Возможные результаты таковы: 0,1,2 или 3 раза попадания.

2. число вызовов, поступивших на телефонную станцию за сутки. Значениями может быть любое число от 1, 2, 3,….

Случайной величинойназывается такая величина, которая в результате опыта может принимать различные значения, причем заранее неизвестно, какое именно, и известны вероятности, с которыми случайная величина принимает каждое конкретное значение.

Определение.Любое соотношение, устанавливающее связь между всеми возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называетсязаконом распределенияслучайной величины.

Чтобы задать случайную величину, надо указать ее закон распределения. Случайные величины принято обозначать греческими буквами ,,, а их возможные значения – латинскими буквами с индексамиxi,yi,zi.

Пример 2.1. Обозначим буквойчисло гербов, выпавших при подбрасывании монеты три раза. Это число зависит от случайных результатов подбрасывания и поэтому будет случайной величиной. В этом примере случайная величинаможет принять четыре значения 0,1,2,3, но невозможно предсказать какое из них. Найдем вероятности этих значений. Пространство элементарных событийв этом примере состоит из восьми упорядоченных троек

={ω₁= ГГГ, ω₂= ГГЦ, ω₃= ГЦГ, ω₄= ЦГГ, ω₅= ГЦЦ, ω₆= ЦГЦ, ω₇= ЦЦГ, ω₈= ЦЦЦ},

где Г обозначает выпадение герба при одном подбрасывании, аЦ – выпадение цифры.

Обозначим через А_i событие, в котором при подбрасывании монеты появилисьi гербов (i=0,1,2,3). Каждое событие А_iявляется составным событием и содержит все элементарные события ω_i , которые привели к появлениюi гербов:

А_i={}.

Следовательно,

A₀={}={ЦЦЦ}, A₁={}={ГЦЦ, ЦГЦ, ЦЦГ},

A₂={}={ГГЦ, ГЦГ, ЦГГ}, A₃={}={ЦЦЦ}.

Дополнительно предположим, что подбрасывают правильную монету. Тогда из независимости испытаний следует, что вероятность каждого элементарного события ω_i равна**=. Из классического определения вероятности событияA_iимеют вероятности, равные

p₀ =P(A₀)= P{ЦЦЦ}=, p₁=P(A₁)=P{ГЦЦ,ЦГЦ, ЦЦГ} = ,

p₂=P(A₂)=P{ГГЦ,ГЦГ,ЦГГ}=, p₃=P(A₃)=P{ЦЦЦ}= .

Отметим, что все события A_iнесовместны и составляют пространство элементарных несовместных событий, т.е.

 = A₀+A₁+A₂+A₃.

Из аксиом вероятности следует равенство

р(  ) = р(A₀+A₁+A₂+A₃) = p(A₀)+ p(A₁)+ p(A₂)+ p(A₃)=1.

Составим таблицу из полученных возможных значений этой случайной величины и соответствующих вероятностей :

ξ	0	1	2	3

Пример 2.2. Производится один выстрел по плоской круглой мишени радиуса R. Учитываются только выстрелы, которые приводят к попаданию в мишень. В качестве случайной величины рассмотрим расстояние  от точки попадания до центра мишени. Тогда множество возможных значений случайной величины образует числовой интервал  R]. Предположим, что любая точка мишени может быть поражена с одинаковой вероятностью. Отсюда следует, что с одинаковой вероятностью случайная величина  принимает любое значение из интервала  R]. В этом случае вероятность того, что расстояние  не превзойдет числа x (0≤ x ≤R), можно найти из геометрического определения вероятности по формуле  (  x) x/R. Очевидно, что при x>R вероятность (  x)1, а при x<0 вероятность (  x)0.

Из приведенных примеров видно, что случайной величиной является функция f, которая каждому элементарному событию  ставит в соответствие число . Эти числа  называют возможными значениями случайной величины.

В зависимости от множества возможных значений случайной величины выделяют два типа случайных величин:

а) дискретная случайная величина – это величина, значения которой можно ( пересчитать ) перенумеровать;

б) непрерывная случайная величина – это такая величина, значения которой заполняют целиком некоторый промежуток числовой оси или всю числовую ось.

Определение. Функция распределения F(x) случайной величины определяется равенством

F (x)=P(   x), (2.1)

для всех действительных чисел x.

В примере 2.2 функция распределения определяется формулой

.