Глава 3. Линейные операторы § 1. Определение линейного оператора

В общем курсе математического анализа изучаются функции одного или нескольких вещественных переменных. Например, в случае функции трех вещественных переменных можно говорить о функции, аргументом которой является свободный вектор трехмерного пространства. Ниже мы будем изучать функции, аргументом которых будет вектор произвольного линейного пространства. Причем мы рассмотрим простейшие типы таких функций, а именно линейные функции. При этом линейные числовые функции векторного аргумента, т.е. функции, значения которых суть числа называют линейными формами (функционалами), а линейные векторные функции векторного аргумента, значения которых суть векторы называют линейными операторами (отображениями, преобразованиями).

Пусть заданы два различных непустых множества и, элементы которых будем обозначать буквами соответственнои.

Определение 1. Правило (закон), по которому любому элементу ставится в соответствие единственный элемент называется оператором, действующим изв .

Если оператор обозначить буквой , то результатего применения к элементузаписывают в виде

.

Множество называетсяобластью определения оператора , элементпри этом называетсяобразом элемента , а сам элемент–прообразом элемента . Совокупность всех образов называетсяобластью значений оператора . Если каждый элемент имеет только один прообраз, то оператор называетсявзаимно однозначным. Множество элементов , удовлетворяющих равенству, называютсяядром оператора .

Будем в дальнейшем под ипонимать линейное пространство.

Определение 2. Оператор называетсялинейным, если для любых дух векторов иизи произвольного числавыполняются условия:

1. (аддитивность);

2. (однородность).

Покажем, что любой линейный оператор можно задать, указав некоторый набор чисел. Действительно, выберем в пространственекоторый базиси обозначим черезпроизвольный вектор из, а черезего образ, то есть

.

Выпишем разложения векторов ипо выбранному базису

,

где икоординаты векторов соответственно и в базисе. Если подставить первое из последних равенств в правую часть предыдущего равенства и использовать линейность оператора, то получим

.

Векторы принадлежат пространствуи, следовательно, в выбранном базисе можем написать

где – координаты вектора в базисе. Подставив последние равенства в правую часть предыдущего равенства и, используя разложение векторав выбранном базисе, получим

.

Используя единственность разложения вектора в данном базисе, приравняем коэффициенты при базисных векторах в левой и правой частях последнего равенства. При этом получим

(3.1)

Непосредственно из формулы (3.1) видно, что правило перехода от вектора к векторуили от точкик новой точке^ полностью определяется квадратной матрицей

, (3.2)

составленной из коэффициентов формул (3.1).

Определение. Матрица называется матрицей линейного операторав базисе, а сам этот оператор называют оператором с матрицейв базисе.

Если ввести в рассмотрение одностолбцовую матрицу

(3.3)

и вычислить произведение матриц

,

то получим одностолбцовую матрицу, элементами которой являются суммы, стоящие в правых частях равенств (3.1).

Если же ввести в рассмотрение матрицу

(3.4)

и воспользоваться понятием равенства матриц, то система (3.1) может быть записана в виде

. (3.5)