§ 5. Неравенство треугольника

Для произвольных векторов и евклидового пространства выполняется неравенство

, (2.7)

называемое неравенством треугольника.

Для доказательства справедливости (2.7) заметим, что квад­рат длины вектора +равен скалярному произведению вектора + на самого себя, т. е.

. (2.8)

Обращаясь последовательно к условию 2 в определении евкли­дова пространства два раза, а затем к условию 1, можем написать

.

Используя неравенство Коши-Буняковского, получим

. (2.9)

Из сравнения (2.8) и (2.9) следует справедливость (2.7). Заметим, что если и означают векторы, изученные ранее в курсе геометрии, то неравенство (2.7) означает, что длина стороны треугольника не больше суммы длин других его сторон.

§ 6. Угол между векторами

Вначале заметим, что на основании неравенства Коши-Буняковского можно утверждать, что величина меньше 1.

Поэтому можно ввести следующее определение.

Определение 1. Углом между векторами и называют такое число (от до), для которого выпол­няется равенство

(2.10)

Определение 2. Векторы и называются ортогональ­ными, если выполнено равенство

(2.11)

Если и – оба ненулевые, то это определение означает, что угол между и равен . Нулевой вектор, по определению, счи­тается ортогональным любому вектору.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. В пространстве векторов, изученных ранее в курсе геометрии, скалярное произведение определено известным образом. Орты попарно взаимно ортогональны.

Пример 2. В евклидовом пространстве одностолбцовых матриц, в котором ска­лярное произведение определено равенством (2.3), векторы

и

ортогональны.

§ 7. Ортонормированный базис

Определение 1. Базис евклидова простран­ства называется ортогональным, если векторы базиса попарно ортогональны, т. е.

при .

Если при этом все векторы базиса единичные, т. е.

, ,

то базис называется ортонормированным.

Теорема. Во всяком -мерном евклидовом прост­ранстве имеются ортонормированные базисы.

Доказательство. Доказательство проведем для слу­чая . Пусть – произвольный базис пространства . Докажем, что с его помощью можно построить ортонормированный базис. Положим , где – некоторое ве­щественное число, которое мы подберем так, чтобы векторы и были ортогональны, то есть

.

Используя условия 2 и 3 определения евклидова пространства, получим

,

откуда получим (так как )

.(2.12)

Итак, если в качестве взять число, определяемое равенством (2.12), то векторы и будут ортогональны, а так как векторы и линейно независимы, то из формулы, определяющей вектор , следует, что он не может стать нулевым. Вектор опреде­лим с помощью равенства

, (2.13)

где вещественные числа и определим так, чтобы вектор был ортогонален к векторам и , т. е. чтобы выполнялись ра­венства

;

.

Используя, как и выше, условия 2 и 3 определения евклидова пространства, можем написать

;

,

откуда, учитывая ортогональность векторов и (т. е. ), получим выражение для и

, .(2.14)

Итак, если в качестве и взять числа, определяемые равен­ствами (2.14), то вектор будет ортогонален векторам и , так как векторы , , линейно независимы, то вектор не может быть нулевым (вектор выражается с помощью (2.13) в виде ли­нейной комбинации векторов , , ).

Базис , , – ортогональный. Но для того чтобы сделать его ортонормированным, следует каждый из векторов , , поделить на его длину. Векторы

; ;

образуют искомый ортонормированный базис.

Для случая этот процесс следует продолжать до тех пор, пока не найдем последний вектор.

Примененный здесь способ получения ортонормированного ба­зиса из произвольного базиса носит название процесса ортогонализации. Естественно, что каждый вектор в -мерном евклидовом пространстве можно представить в виде

, (2.15)

где – некоторый ортонормированный базис,– координаты вектора в этом базисе. Отметим, что для координатимеют место равенства

, ,

которые получатся, если умножить обе части равенства (2.15) на .