§ 4. Линейная зависимость

При изучении векторной алгебры было введено понятие линей­ной комбинации векторов. Обобщим это понятие на случай линей­ного пространства.

Пусть означают произвольные векторы линей­ного пространства .

Определение 1. Линейной комбинацией векторов , называется сумма произведений этих элементов на про­извольные вещественные числа , т. е. вектор

. (1.17)

Числа , называютсякоэффициентами этой ли­нейной комбинации.

Определение 2. Векторы называются ли­нейно зависимыми, если существуют чисел не все равные нулю, такие, что выполняется равенство

. (1.18)

Если же равенство (2.18) возможно только в единственном слу­чае, когда

,

то векторы называютсялинейно независимыми.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Обратимся к линейному пространству , элементами которого являются многочлены от одной переменной, степень которых меньше либо равна заданному числу .

Элементы пространства

(1.19)

образуют в этом пространстве линейно независимую систему. Линейная независимость системы (1.19) следует из того, что соотношение

может быть выполнено для любого только в том случае, если

.

Пример 2. В линейном пространстве, элементами которого являются свободные векторы на плоскости, любые три вектора линейно зависимы, т. е. существуют такие числа , не равные нулю одновременно, что выполняется соотношение

.

Пример 3. Функции линейно зависимы, так как соотношение

выполняется тождественно, если положить .

Теорема. Если векторы линейно зависимы, то один из них может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов.Доказательство. Действительно, если векторы линейно зависимы, т.е. вы­полняется соотношение (1.18), и при этом допустить для определенности, что , то

или, поделив обе части последнего равенства на получим

.

Ясно, что верно и обратное утверждение. Последнее равенство называется разложением вектора по векторам .

§ 5. Базис и координаты

Определение 1. Система линейно независимых векторов линейного пространства называется базисом этого пространства, если всякий вектор из этого пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов , т.е.

, (1.20)

где означают коэффициенты линейной комбинации.

Теорема. Коэффициенты в разложении (2.20) определяются един­ственным образом.

Доказательство. Действительно, допустим напротив, что для вектора существует два разложения по векторам :

;

.

Вычитая почленно из первого равенства второе, будем иметь

.

Но так как векторы линейно независимы, то послед­нее равенство возможно только в том случае, если

,

откуда и следует единственность представления вектора в виде линейной комбинации векторов . Эти, единственным образом определяемые числа, называютсякоорди­натами вектора относительно базиса , и при этом записываются

либо , либо,

либо в виде столбца

,

который называют координатным столбцом.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. В множестве всех свободных векторов в пространстве тройка единичных взаимно ортогональных векторов образует базис. Координатами вектора относительно этого базиса служат проекции вектора на координатные оси.

Пример 2. В линейном пространстве многочленов , степень которых меньше либо равна , одночлены

образуют базис. Координатами всякого многочлена

в этом базисе являются его коэффициенты .

Во всяком фиксированном базисе все векторы можно задавать системами из чисел – их координатами в выбранном базисе. Нетрудно проверить, что если векторы заданы своими координатами, то их сложение, вычитание и умножение на число сводятся к соответствующим действиям над координатами.