§ 2. Сходимость. Полные метрические пространства

Введем некоторые понятия теории метрических пространств, которые будут использованы в дальнейшем.

Пусть означает некоторую точку метрического пространства, а– положительное число.

Определение. Совокупность точек пространства, удовлетворяющих неравенству

называется замкнутым шаром и обозначается символом .

Точка называется центром этого шара, а число– радиусом шара.

Определение. Совокупность точек , удовлетворяющих неравенству

,

называется открытым шаром и обозначается символом .

Открытый шар радиуса с центром в точкеназывают–окрестностью точки и обозначают символом.

Определение. Точка называетсяточкой прикосновения множества , если любая ее окрестность содержит хотя бы одну точку из.

Совокупность всех точек прикосновения множества называетсязамыканием этого множества и обозначается символом .

Определение. Точка называетсяпредельной точкой множества , если любая ее окрестность содержит бесконечно много точек из.

Определение. Точка , принадлежащаяназываетсяизолированной точкой этого множества, если в достаточно малой ее окрестности нет точек из, отличных от.

Пусть – последовательность точек в метрическом пространстве.

Определение. Последовательность сходится к точке, если

.

Следующая теорема устанавливает связь между понятиями предела и точкой прикосновения множества.

Теорема. Для того чтобы точка была точкой прикосновения множества, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательностьточек из, сходящаяся к.

Пусть в метрическом пространстве имеется два множестваи.

Определение. Множество называется плотным в множестве, если. В частности, множествоназывается всюду плотным (в пространстве), если его замыканиесовпадает со всем пространством.

Например, множество рациональных чисел всюду плотно на числовой прямой.

Пространства, в которых имеется счетные всюду плотные множества, называют сепарательными.

Определение. Множество называетсязамкнутым, если оно содержит все свои предельные точки или, что то же самое, если оно совпадает со своим замыканием: .

Определение. Последовательность точек метрического пространстваназываетсяфундаментальной, если для любого существует такое число, что для всехивыполняется неравенство.

Нетрудно заметить, что всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. Однако обратное утверждение верно не во всяком метрическом пространстве.

Определение. Если в метрическом пространстве любая фундаментальная последовательность сходится, то это пространство называетсяполным.

Например, евклидовы пространства ,, а также пространствоявляются полными.

§ 3. Принцип сжимающих отображений

Вопрос о существовании и единственности решений алгебраических, трансцендентных, дифференциальных и других типов уравнений можно сформулировать в виде вопроса о существовании и единственности неподвижной точки при некотором отображении соответствующего метрического пространства в себя. Одним из критериев существования и единственности неподвижной точки при такого рода отображениях является так называемый принцип сжимающих отображений.

Отображение метрического пространства в себя называется сжимающим отображением, если существует такое число , что для любых двух точекипространства выполняется неравенство

.

Точка называетсянеподвижной точкой отображения , если выполняется равенство

.

Можно показать, что имеет место следующее утверждение.

Теорема (Принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве , имеет одну и только одну неподвижную точку.

Принцип сжимающих отображений можно использовать для доказательства существования и единственности решений для уравнений различных типов. Следует отметить, что принцип сжимающих отображений позволяет не только доказать существование и единственность решения, но и дает метод нахождения приближенного решения. Этот метод называют методом итераций или методом последовательных приближений.

Рассмотрим применение этого метода к отысканию приближенного решения уравнения

, (8.1)

где функция определена на промежуткеи удовлетворяет условию Липшица

, (8.2)

с константой и отображает промежутокв себя.

В этом случае есть сжимающее отображение и, согласно сформулированной выше теореме последовательность чисел

, ,,…,…

сходится к единственному корню уравнения (8.1).

Если функция имеет на промежуткепроизводнуюи при этом выполняется неравенство

, (8.3)

где – некоторая постоянная, то легко видеть, что условие сжатости (8.2) выполнено.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. На промежутке найти действительный корень уравнения

.

Записав данное уравнение в виде (8.1), получим

.

Легко проверяется, что производная на промежуткепринимает только положительные значения и удовлетворяет условию (8.2).

Используя метод итераций и положив в первом шаге ,получим с помощью Mathcad Professional ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

Пример 2. На промежутке найти действительный корень уравнения

.

Как и в предыдущем примере запишем данное уравнение в виде

.

В этом примере производная на промежуткепринимает только отрицательные значения, но условие (8.2) по прежнему выполняется. Используя метод итераций и положив вначалебудем производить вычисления с помощьюMathcad Professional.

Геометрически метод итераций можно пояснить следующим образом. Построим на плоскости графики функцийи. Каждый вещественный кореньуравнения (8.1) является абсциссой точки пересечения кривойс прямой(рис.3).

Рис.3

Отправляясь от некоторой точки , построим ломаную линию(«Лестница»), звенья которой попеременно параллельны осии оси, так что вершинылежат на кривой, а вершинына прямой. Общие абсциссы точеки,и,и… представляют собой последовательные приближенияк корню.

Возможен также (рис.4) другой вид ломаной («Спираль»). Легко заметить, что решение в виде «лестницы» получается, если производнаяположительна, а решение в виде спирали, еслиотрицательна.

Рис.4

Если , то процесс итерации может быть расходящимся (рис.5).

Рис. 5

Пусть теперь требуется решить уравнение , причем примем для определенности, что,и навыполнено неравенство

, (8.4)

где и– некоторые постоянные. Введем в рассмотрение функцию

,

где – некоторая постоянная и заметим, что решение уравненияравносильно решению уравнения.

Так как , то, используя (8.4) будем иметь

.

Выберем теперь число так, чтобы выполнялось неравенство (8.3), т.е. потребуем выполнения двух равенств

,(8.5)

Решая систему (8.5) двух уравнений относительно и, получим

,(8.6)

и заметим, что условие выполнено.

Пример. Требуется найти приближенное значение корня уравнения

на промежутке .

Легко проверяется, что , а. Выпишем производнуюи заметим, что на промежуткевыполняется неравенство

,

а тогда в соответствии с равенствами (8.6), получим

, .

Введем в рассмотрение функцию

и используя метод итераций положим сначала , а затем, производя вычисления с помощьюMathcad Professional, получим

То есть для получения искомого решения проделали 12 шагов.