
- •Федеральное агентство по образованию
- •Предисловие
- •Введение
- •Глава 1. Линейные пространства § 1. Введение
- •§ 2. Определение линейного пространства
- •I и II операции называются соответственно сложением и умножением на число и удовлетворяют следующим восьми условиям:
- •Примеры конкретных линейных пространств
- •§ 4. Линейная зависимость
- •§ 5. Базис и координаты
- •§ 6. Размерность
- •§ 7. Подпространства
- •Глава 2. Евклидовы пространства § 1. Введение
- •§ 2. Определение евклидова пространства
- •§ 3. Длина вектора
- •§ 4. Неравенство Коши-Буняковского
- •§ 5. Неравенство треугольника
- •§ 6. Угол между векторами
- •§ 7. Ортонормированный базис
- •Глава 3. Линейные операторы § 1. Определение линейного оператора
- •§ 2. Примеры линейных операторов
- •Примеры линейных операторов
- •§ 3. Действия над линейными операторами
- •Глава 4. Преобразование координат § 1. Замена базиса
- •§ 2. Ортогональные преобразования
- •§ 3. Матрица оператора при замене базиса
- •Глава 5. Несовместные системы линейных уравнений и метод наименьших квадратов § 1. Задача о проекции вектора и перпендикуляре к нему
- •§ 2. Несовместные системы линейных уравнений
- •§ 3. Метод наименьших квадратов
- •Глава 6. Собственные векторы и собственные числа § 1. Определение собственных векторов и собственных чисел
- •§ 2. Вычисление собственных векторов и собственных чисел в конечномерном пространстве
- •§ 3. Собственные векторы симметричных операторов
- •Глава 7. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду § 1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •§ 2. Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду
- •§ 3. Малые колебания механических систем
- •Глава 8. Элементы теории метрических пространств § 1. Определение метрического пространства
- •§ 2. Сходимость. Полные метрические пространства
- •§ 3. Принцип сжимающих отображений
- •Библиографический список
- •191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5
§ 2. Вычисление собственных векторов и собственных чисел в конечномерном пространстве
Пусть
– базис
-мерного
пространства
и
– некоторый линейных оператор. Допустим,
что вектор
есть собственный
вектор оператора
,
так что
,
(6.1)
где
– собственное значение, соответствующее
собственному вектору
.
Повторив рассуждения, проведенные при
получении равенств (3.1), можем записать
последнее равенство в координатной
форме
(6.2)
где
– координаты вектора
в выбранном базисе, а
– элементы матрицы
линейного оператора
в базисе
.
Систему уравнений (6.2) можно записать в
виде
(6.3)
Так как искомый
собственный вектор ненулевой, то среди
его координат
должна быть хоть одна отличная от нуля,
а это значит, что система (6.3) должна
иметь ненулевое решение. Для того чтобы
система линейных однородных уравнений
(6.3) имела ненулевое решение, необходимо
и достаточно, чтобы ее определитель был
равен нулю
.
(6.4)
Уравнение (6.4)
называется характеристическим
уравнением
оператора
.
Итак, если вещественное число
есть какое-нибудь собственное значение
оператора
,
то оно является корнем характеристического
уравнения (6.4) и наоборот. Отсюда следует,
что, найдя вещественное собственное
число
и подставив его в систему (6.3), мы сможем
найти координаты соответствующего
собственного вектора.
Если все
корней
уравнения (6.4) вещественны и различны,
то можно найти
различных собственных векторов оператора
,
решая систему (6.3)
раз последовательно при
.
Можно показать, что полученные собственные
векторы
линейно независимы. Примем их за новый
базис. Тогда в этом базисе сами векторы
имеют соответственно координаты
и
систем уравнений, получающихся из (6.2)
для каждого случая, примут вид
(6.5)
а тогда матрица
оператора
имеет вид
.
(6.6)
Сформулируем полученный результат следующим образом:
в
-мерном
пространстве матрица всякого линейного
оператора характеристическое уравнение
которого имеет
различных вещественных корней, в базисе
из его собственных векторов диагональна
и ее диагональные элементы есть
собственные значения оператора.
§ 3. Собственные векторы симметричных операторов
Определение.
Оператор
,
действующий в евклидовом пространстве
,
называетсясимметричным,
если для любых векторов
и
пространства
имеет место равенство
.
(6.7)
Важно отметить,
что в
-мерном
евклидовом пространстве матрица
симметричного оператора в любом
ортогональном нормированном базисе
совпадает со своей транспонированной
матрицей, то есть
есть симметричная матрица. Верно и
обратное утверждение: каждый оператор
,
имеющий в некотором ортогональном и
нормированном базисе симметричную
матрицу, является симметричным оператором.
Теорема.
Собственные векторы симметричного
оператора
,
отвечающие различным собственным
значениям, взаимно ортогональны.
Доказательство. Пусть имеют место равенства
,
(6.8)
,
(6.9)
где
и
– собственные
значения оператора
,
причем
.
Умножим равенство (6.8) скалярно на
,
а (6.9) на
и вычтем второе из первого. Тогда можем
написать
.
(6.10)
Так как оператор
симметричный, то левая часть равенства
(6.10) равна нулю, а это значит, что при
выполняется равенство
,
что и требовалось доказать.
Примем без доказательства следующие теоремы.
Теорема.
Симметричный оператор
в
-мерном
евклидовом пространстве
имеет
взаимно ортогональных собственных
векторов.
Теорема.
Если матрица
симметрична, то соответствующее ей
характеристическое уравнение (6.4) не
имеет комплексных корней. Каждому
вещественному корню
уравнения (6.4) отвечает ровно столько
линейно независимых решений системы
(6.3), какова кратность корня
.